Che cos’è un tensore

Esistono almeno 5 definizioni matematiche di tensore non proprio chiare, forse è meglio partire dal primo tensore della storia quello di Cauchy e cercarne una generalizzazione per capirci qualche cosa.

Ho scelto di dividere il post in 3 parti. La prima parte intuitiva e fisica, la seconda matematica e la terza di generalizzazione.

Il tensore degli sforzi di Cauchy

Guardando certe costruzioni antiche come le piramidi, il Pont de Gard romano presente sulle banconote da 5 euro, ma anche cattedrali gotiche medioevali, castelli, oppure la torre Eiffel non si può che rimanere di stucco; perché? Beh, il mio perché è che solo nel 1822 Cauchy, matematico ma anche ingegnere, creò gli strumenti matematici per poter calcolare le tensioni interne dei materiali; Chissà come si faceva prima.

Come possiamo modellare matematicamente le tensioni all’interno di un materiale? Non è per niente intuitivo. Se pensiamo ad un pilastro ci viene da pensare che ogni strato orizzontale sia soggetto ad una pressione uniforme ma non è così. Se pensiamo ad una trave pensiamo ad una zona di trazione nella parte sottostante ed una zona di compressione nella parte superiore ma non è così. Insomma non vorrei distruggere il vostro intuito, è quasi così ma esistono anche gli sforzi di taglio non solo quelli di compressione.

In generale possiamo prendere un solido continuo, pensiamo al cioccolato, non ti piace? Allora pensa al formaggio. Il corpo ha una forma qualsiasi come in figura ed un punto P al suo interno o anche sulla superficie. Il corpo è soggetto a forze esterne applicate in punti sulla superficie, pressioni esterne come la pressione di un fluido se il corpo gli è immerso, e la forza di gravità che invece agisce internamente in ogni punto del corpo.

Il corpo ora lo pensiamo in equilibrio, bello fermo che non si muove, non trasla e non ruota. Domanda: quale forza agisce sul punto P generico? La risposta è: la forza nulla! Infatti se la forza non fosse nulla allora il punto subirebbe un’accelerazione e si muoverebbe. Ecco, questo è il punto che spiazza e non permette di spiegare gli sforzi interni al materiale in modo intuitivo e semplice. Non c’è dubbio che sul punto agiscono delle forze ma la loro somma è zero per permettere l’equilibrio; allora come mai pensiamo che il punto potrebbe disgregarsi sotto l’azione di forze molto intense?

La risposta è che il punto non è un punto perché la materia non è un continuo. Ma non fa niente, possiamo comunque considerare un punto come una pallina piccola a piacere ma non nulla, insomma tipo infinitesimo.

Al punto P immerso nel materiale associamo una direzione che pensiamo come un vettore n ed un piano ad essa perpendicolare e passante per il punto P… anzi no, pensiamo a due piani, uno sopra e l’altro sotto al punto separati da una distanza infinitesima. Questo modo di vedere le cose non è quello di norma utilizzato nei libri ma a me piace e quindi faccio così tanto si tratta di una descrizione fisica intuitiva.

Per chi mastica il tensore di Cauchy i due piani sono l’equivalente del tetraedro di Cauchy o del cubetto che si vedono nei manuali di teoria delle costruzioni.

Il tutto dovrebbe essere chiaro guardando la figura sottostante:

Ora facciamo questo esperimento mentale come quelli che piacevano ad Einstein, tagliamo il materiale lungo il piano superiore, cosa succede? Chiaramente il blocco di materiale non è più in equilibrio perché vengono a mancare le forze che agivano sul piano, possiamo sostituirle artificialmente applicando delle forze opportune che riportano il blocco di materiale di nuovo in equilibrio; un po’ come togliere una gamba ad una sedia e applicare una forza con le mani per mantenerla in equilibrio.

Come si vede in figura in corrispondenza del punto P abbiamo dovuto applicare una forza che abbiamo indicato con t. A essere precisi in ogni punto lungo la superficie del piano va applicata una forza non solo nel punto P preso in considerazione; inoltre la forza è in realtà una densità di forza in quanto è una forza per unità di superficie come si legge in tutti i manuali di teoria delle costruzioni, ma questo è al momento un dettaglio.

Riassumiamo, nel punto P, nella direzione n, agisce la densità di forza t. Per mantenere l’equilibrio in direzione opposta -n deve agire una forza identica in intensità e direzione ma di verso opposto -t. Noi la rappresentiamo sul piano inferiore quello a distanza infinitesima come in figura.

Per quanto riguarda il momento o coppia si forma una micro-coppia che svanisce quando i piani sono considerati a distanza nulla. In realtà la distanza non è nulla ma raggiunge distanze interatomiche, comunque lo sforzo di coppia è normalmente considerato trascurabile.

La forza t la possiamo decomporre in una parte normale al piano che indichiamo con sigma e che chiaramente genera una pressione o una trazione ed una parte parallela al piano detta forza tangenziale o di taglio e che indichiamo con tau. La forza applicata sul piano in direzione opposta si decompone alla stessa maniera ma genera forze identiche tranne per i versi che sono opposti. Guardiamo la figura e le formule seguenti per capire meglio:

\bold{\sigma_n}:=(\bold{t}\cdot\bold{n})\bold{n} \newline
\bold{\tau}:=\bold{t}-\bold{\sigma_n}

la definizione della forza normale sigma dovrebbe essere intuitiva, si prende la componente della forza t nella direzione n tramite il prodotto scalare e poi per differenza si definisce la forza in direzione perpendicolare tau.

Introdurre due piani infinitamente vicini aiuta a capire l’agire delle forze. Pensiamo ai piani come a due fogli di carta incollati tra loro. Le forze normali opposte tendono a scollare i fogli oppure a premerli tra loro mentre le forze di taglio tendono a far scorrere tra loro i fogli. La resistenza della colla è il fattore determinante per non far disgregare il materiale. Fisicamente la colla è rappresentata dai legami intermolecolari e dalla loro resistenza ed in pratica si possono misurare con della prove fatte con macchine che tirano o comprimono o applicano forze di taglio a dei campioni di materiali i condizioni controllate; con queste si misura il noto modulo di Young… ma non andiamo oltre.

Mentre le forze normali risultano intuitive, si tratta in fin dei conti di premere e tirare, le forze di taglio non lo sono. Per taglio normalmente si intende una separazione fisica e non uno scorrimento, forse sforzi di scorrimento sarebbe stato più azzeccato come definizione. In inglese si dice shear che ha più a che fare con tosare e direi che anche qui non si fa meglio nonostante alcuni usino questo termine in italiano per darsi un tono affettato…

Facciamo un esperimento mentale interessante per rendersi conto che non si tratta di uno sforzo intuitivo. Riprendiamo il pilastro, chiaro che se sezioniamo il pilastro con piani orizzontali la forza in un punto è solo normale ma, se lo sezioniamo a fetta di salame, se volete essere più professionali facciamo uno shear a 45° , vedrete che appaiono delle forze di taglio perché la forza si decompone anche nella direzione parallela ai piani. Se invece consideriamo una trave, anzi un libro, e lo flettiamo, vediamo scorrere le pagine tra loro rivelando uno scorrimento di taglio. Non vado oltre in queste descrizioni, mi fermo qui.

Che animale è?

Abbiamo visto che in punto all’interno di un materiale soggetto a forze esterne si generano degli sforzi interni: come di descrivono matematicamente?. Se avete seguito la descrizione non dovrebbe essere difficile capire di che animale, in senso matematico, si tratta.

Il blocco di materiale possiamo pensarlo come un insieme. In un punto P qualsiasi dell’insieme dobbiamo associare uno spazio vettoriale per poter parlare di direzione n. Tecnicamente si tratta di uno spazio tangente ma non complichiamoci troppo la vita. Al punto e alla direzione prescelta va associato un vettore delle forze quindi allo stesso punto P dobbiamo associare due spazi vettoriali, uno per le direzioni ed uno per le forze. Direi che ci siamo, possiamo pensare che l’animale in questione sia una funzione:

T:M\times N \to F \newline
T(P, \bold{n}) \mapsto \bold{t}

La funzione dipende dal punto dell’insieme M ma non è molto importante, questo dice solo che abbiamo a che fare con un campo di funzioni. A noi interessa quello che succede nel punto.

Tralasciando la dipendenza dal punto, siamo di fronte ad una funzione tra spazi vettoriali ma, gode di qualche proprietà aggiuntiva? Certo che sì.

Il vettore di direzione n viene considerato di lunghezza unitaria, cosa succede se lo allunghiamo o lo accorciamo? Possiamo pensare che la forza associata vienga semplicemente allungata o accorciata dello stesso fattore. Si tratta più di una questione di convenzione che matematica comunque diciamo che potrebbe valere la seguente proprietà:

T(a\bold{n})=aT(\bold{n})

Ora pensiamo sempre in senso fisico, le forze si sommano in modo lineare tramite la legge del parallelogramma. Non è difficile quindi pensare che se:

\bold{n}=a\bold{n_1}+b\bold{n_2} \newline
T(\bold{n_1})=\bold{t_1} \newline
T(\bold{n_2})=\bold{t_2} \newline
T(\bold{n})=\bold{t} \newline

Allora le forze si sommano essendo applicate allo stesso punto fornendo la forza nella direzione scelta:

\bold{t}=a\bold{t_1}+b\bold{t_2}

Mettendo insieme si ottiene l’uguaglianza:

\bold{t}=T(\bold{n})=T(a\bold{n_1}+b\bold{n_2}) \newline 
a\bold{t_1}+b\bold{t_2} =aT(\bold{n_1})+bT(\bold{n_2}) \newline
T(a\bold{n_1}+b\bold{n_2})=aT(\bold{n_1})+bT(\bold{n_2})  \newline

l’ultima quindi sancisce la linearità della funzione.

Siamo dunque arrivati a dire che l’animale è una funzione lineare tra spazi vettoriali.

Essendo questa funzione utile nel descrivere le tensioni in un materiale è naturale che sia stata chiamata tensore.

Generalizziamo

Quindi un tensore è una funzione lineare? Tutto qui? Sì, in pratica è così ma possiamo generalizzare e trovare il collegamento con definizioni varie che circolano nei libri di matematica e fisica.

Come prima generalizzazione possiamo pensare a funzioni multilineari:

T: V\times V\times \dots \times V \to W

dove V e W sono spazi lineari sullo stesso campo K tipicamente il campo dei numeri reali o quello dei numeri complessi.

Possiamo generalizza ancora facendo caso che ad ogni spazio vettoriale possiamo sempre associare il suo duale e quindi considerare funzioni multilineari anche rispetto a variabili prese nello spazio duale che altro non è che uno spazio vettoriale:

T: V^*\times V^*\times \dots \times V^* \times V\times V\times \dots \times V \to W 

ma anche:

T: V^*\times V^*\times \dots \times V^* \times V\times V\times \dots \times V \to W^*

quindi a valori nel duale di W.

Osserviamo che possiamo scegliere come spazio vettoriale di arrivo il campo K su cui sono definiti gli spazi vettoriali poiché è anch’esso uno spazio vettoriale su sé stesso.

Infine possiamo notare che lo spazio V ed il suo duale sono spazi vettoriali e non necessariamente devono essere tutti uguali. Possiamo quindi pensare ad una funzione multilineare definita come:

T: (V^*)^n\times V^m \times\dots (X^*)^k \times X^l \to W

basta che tutti gli spazi coinvolti siano definiti sullo stesso campo K, perché? Adesso lo vediamo meglio.

Fissiamo il numero di variabili e consideriamo l’insieme delle funzioni lineari. Possiamo definire le operazioni seguenti:

(c\cdot T)(\bold{v}):=cT(\bold{v}) \newline
(T_1+T_2)(\bold{v}):=T_1(\bold{v})+T_2(\bold{v})

Allora, T rappresenta una funzione multilineare, v rappresenta , in breve, tutte le variabili da cui dipende. c è un elemento del campo su cui sono definiti tutti gli spazi vettoriali coinvolti. Quindi, a sinistra abbiamo due nuovi oggetti, la moltiplicazione di un tensore per un elemento del campo nella prima riga e la somma di due tensori nella seconda riga. A destra la loro definizione che ha senso solo se l’immagine dei tensori si possono moltiplicare per tale costante e i vettori sommare tra loro. Le definizioni per avere senso devono dare come risultato una funzione multilineare in modo che le operazioni siano algebricamente chiuse. Non è difficile capire che è effettivamente così, considerando una sola variabile si ha:

T(c\bold{v_k})=cT(\bold{v_k})=(cT)(\bold{v_k})  

questo mostra perché il campo deve essere comune a tutti gli spazi coinvolti perché c moltiplica sia il vettore che l’immagine del vettore. Inoltre:

(T_1+T_2)(\bold{v_{k_1}}+\bold{v_{k_2}})=T_1(\bold{v_{k_1}}+\bold{v_{k_2}})+T_2(\bold{v_{k_1}}+\bold{v_{k_2}})= \newline
T_1(\bold{v_{k_1}})+T_1(\bold{v_{k_2}})+T_2(\bold{v_{k_1}})+T_2(\bold{v_{k_2}})= \newline
(T_1+T_2)(\bold{v_{k_1}})+(T_1+T_2)(\bold{v_{k_2}})

il che completa la dimostrazione della linearità per la variabile k-esima e quindi, vista l’arbitrarietà di k, di tutte le variabili.

Con questo abbiamo visto almeno 3 delle definizioni di tensore presenti in letteratura.

Per i fisici e gli ingegneri credo che pensare ad un tensore come ad una funzione lineare che in un punto dello spazio associa una forza o una quantità fisica vettoriale di altra natura in dipendenza dalla direzione levi dalla testa un sacco di idee strane.

Ma però

Nei libri di fisica, in particolare quando si tratta la relatività generale, i tensori non sono mica presentati come funzioni. E poi tutti gli indici in alto ed in basso? Dove sono finiti?

La storia dice…non la so ma mi lancio in una speculazione. Quando Einstein si pose il problema di generalizzare la relatività dei sistemi di riferimento inerziali a sistemi di riferimento qualsiasi non aveva gli strumenti matematici necessari. I suoi primi tentativi fallirono ma alcuni matematici avevano qualche idea e lo aiutarono nello sviluppo di tali strumenti. I matematici coinvolti erano numerosi tra cui anche molti italiani.

I fisici ragionano in modo fisico e poi cercano uno strumento matematico che gli aiuti. L’idea è che le leggi della fisica debbano essere invarianti al cambiare del sistema di riferimento o, se preferite, che non dipendano dal sistema di riferimento. Per motivi che ora non intendo spiegare ma che fanno riferimento alle varietà differenziali e ai sistemi di coordinate, era importante generalizzare l’idea di vettore le cui coordinate si trasformano cambiando base lasciando il vettore invariato. Le coordinate di un vettore, lo ricordiamo, hanno per convenzioni l’indice che enumera la base in alto e covariano quando cambia la base mentre l’indice delle coordinate di un vettore duale hanno l’indice in basso e controvariano quando cambia la base. Per generalizzare l’idea si doveva generalizzare il concetto di vettore mantenendo le proprietà di covarianza e controvarianza. A qualcuno venne in mente la seguente definizione:

Una tabella di quantità numeriche indicizzate in alto o in basso che si trasformano in un certo modo al variare delle coordinate.

Non vi nascondo che quando lessi questa definizione la prima volta rimasi perplesso, per un attimo pensai al Sudoku, anche se allora non era noto come oggi e a me neppure un po’… Recentemente mi sono imbattuto in un libro di Carlo Rovelli, un noto fisico italiano, che scrive a pagina 53 parlando della definizione di tensore:

L’ho sempre trovata imbarazzante

Carlo Rovelli

Vi lascio in bibliografia il libro di Rovelli a cui mi riferisco.

Il prodotto tensoriale detto prodotto esterno

Se i fisici vogliono qualche cosa che si comporti come le coordinate di un vettore o di un covettore basta moltiplicare tra loro le varie coordinate in tutti i modi possibili ottenendo un oggetto con due indici che si trasforma nel modo voluto. Queste sono le coordinate del nuovo oggetto ma non è chiaro cosa sia tale oggetto. In effetti si tralascia questa finezza nei libri di testo. (Per chi non capisce l’ironia questo è il momento di cominciare a capirla).

Evitiamo di fare un sacco di tabelle e scriviamo subito la definizione formale di prodotto tensoriale o prodotto esterno:

\bold{v}\otimes \bold{w}:=\bold{v}\cdot \bold{w}^T

Gli oggetti v e w non sono vettori qualsiasi ma oggetti di R^n quindi una n-upla di coordinate di vettori ma non della stessa dimensione. Il prodotto a destra che definisce il prodotto tensoriale a sinistra è il prodotto righe per colonne e la T sta per trasposto nel senso che le n-uple sono viste in verticale ma con la T sono viste in orizzontale. Se guardate bene la definizione è priva di senso ma un esempio chiarisce meglio che si tratta di un abuso di notazione per rendere le cose più brevi:

\bold{v}\otimes \bold{w}:=\begin{pmatrix}
   1 \\
   2 \\
   3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
   4 \\
   5
\end{pmatrix}^T= \newline
\bold{v}\otimes \bold{w}:=\begin{pmatrix}
   1 \\
   2 \\
   3
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
   4 & 5\\
      &   \\
      &
\end{pmatrix}= \newline
\begin{pmatrix}
   1\cdot 4 & 1\cdot 5\\
    2\cdot 4  &  2\cdot 5 \\
    3\cdot 4  & 3\cdot 5
\end{pmatrix}= \newline
\begin{pmatrix}
   4 & 5\\
   8   &  10 \\
     12 & 15
\end{pmatrix}

In pratica gli spazi vuoti possono essere considerati come zeri o meglio ignorati del tutto. Il risultato è una matrice in questo caso la cui dimensione è la stessa del prodotto della dimensioni dei vettori ovvero 3×2.

Basta generalizzare a vettori qualsiasi ed ottenere tutto quello che si vuole ma ancora non si capisce chi sia l’oggetto sottostante invariante.

Con questo anche le altre due definizioni che si trovano in giro sono in questo modo smarcate.

Volevi gli indici? Eccoli!

Prendiamo un tensore pensato come funzione tra spazi vettoriali. Deve essere subito chiara una cosa: è invariante nel senso che non dipende dalla base scelta.

Ora fissiamo una base in ogni spazio vettoriale coinvolto che sia di vettori o di covettori non importa. Per ora pensiamo, per semplicità, che lo spazio di arrivo sia un campo. Proviamo a calcolare la funzione multilineare su vettori espressi in una base. Per semplicità prendiamo una sola variabile e sempre per semplicità non mettiamo alcun indice per indicare di quale si tratta:

T(\bold{v})=T(a^1\bold{b_1}+\dots +a^n\bold{b_n})= \newline
a^1T(\bold{b_1})+\dots +a^nT(\bold{b_n})

Ora possiamo introdurre i numeri con indice in basso seguenti:

T_i:=T(\bold{b_i}) \newline
T(\bold{v})=a^1T_1+\dots +a^nT_n

Ma se consideriamo che T dipende da altre variabili dovremmo mettere altri indici in basso per variabili vettoriali e indici in alto per variabili covettoriali:

T(\bold{v})=a^1_1a_2^1\dots a_n^1c^1_1c^2_1\dots c^n_1T_{1,1,\dots , 1}^{1,1,\dots ,1}+\dots +a^n_1a_2^n\dots a_n^nc^1_nc^2_n\dots c^n_nT_{n,n,\dots , n}^{ n,n,\dots ,n}

Le varie a e c sono le coordinate dei vari vettori e covettori che si sono guadagnati un indice per numerare i vettori a cui si riferiscono. Gli indici in alto dei vettori variano da 1 ad n mentre quelli dei covettori che sono in basso variano da 1 ad n. Io ho scritto solo il primo termine che ha tutti gli indici uguali ad 1 e l’ultimo che ha tutti gli indici uguali ad n. In mezzo, rappresentati dai 3 puntini, ci sono tutti gli altri termini in tutte le combinazioni di indici possibili. In questo modo il tensore è rappresentato nelle basi scelte dalle coordinate T con tutti gli indici del caso.

Se lo spazio di destinazione è uno spazio vettoriale diverso dal campo K e quindi di dimensione maggiore di 1 allora dobbiamo aggiungere un indice in alto se si tratta di spazio di vettori in basso se si tratta di spazio di covettori.

Notiamo che utilizzando le coordinate la notazione diventa generalmente complessa e difficile da gestire. Ci si perde facilmente in una miriade di indici a loro volta indicizzati. Si perde anche la dimensione dello spazio di arrivo che diventa un indice come gli altri. Inoltre in relatività generale gli indici si possono alzare ed abbassare tramite un’operazione che coinvolge la metrica facendo perdere l’identità e la distinzione tra vettori, covettori e vettori o covettori dello spazio di destinazione.

Con questo tutte le definizioni risultano equivalenti.

Un paio di esempi

Il tensore di Cauchy è sicuramente un esempio illuminante, ad una direzione viene associata una forza incidente al piano individuato dalla stessa direzione.

Il tensore metrico è una funzione bilineare a valori numerici. Essa, dati 2 vettori, fornisce la loro lunghezza e l’angolo formato dalle loro direzioni.

Naturalmente in fisica possiamo trovare ulteriori esempi come il tensore del campo elettro-magnetico che non si chiamerebbe così se esistessero solamente campi elettrici (vettoriali) e campi magnetici (vettoriali), l’unificazione delle due forze è proprio il campo elettro-magnetico (tensore F) dovuta a Maxwell. La sua interpretazione fisica è la seguente:

f=\frac{q}{c}F(v)

una carica q che si muove con quadrivelocità v in un campo elettromagnetico F è soggetta alla quadriforza f secondo la relazione appena scritta. c è la velocità della luce ed è presente solo per una questione di unità di misura.

La relatività generale richiede per la sua formulazione il tensore di Riemann che descrive la curvatura di uno spazio ma anche il tensore energia-impulso che descrive la distribuzione di massa nello spazio.

Provate a leggere i libri di fisica e di costruzioni e noterete che i tensori sono tutti espressi nelle loro coordinate e mai come funzione lineare ad eccezione della seguente equazione:

\bold{F}=m\bold{a}

L’equazione di Newton è scritta in forma tensoriale, si noti che la forza è un funzionale che agendo sui vettori spostamento (una direzione con modulo non unitario) fornisce uno scalare chiamato lavoro. In forma di coordinate le equazioni diventano 3 per il singolo punto materiale e cambiando coordinate le componenti si modificano in vario modo fornendo equazioni molto diverse. In pratica l’equazione tensoriale è utile concettualmente mentre per risolverla bisogna passare alle coordinate.

Concludendo

Siamo partiti dal fatto che in letteratura si trovano almeno 5 definizioni diverse di tensore. Prima abbiamo capito che cosa è un tensore tramite il tensore di Cauchy che è storicamente il primo individuato poi abbiamo in generale definito che un tensore non è altro che una funzione multilineare. Detto ciò abbiamo smarcato ben 3 definizioni che si differenziavano solo per dominio, e codominio. Successivamente siamo entrati nella definizione di tensore in base al fatto che le sue coordinate covarino o controvarino ottenendo una definizione imbarazzante ed una equivalente ma formale quindi formalmente imbarazzante… Alla fine abbiamo espresso le funzioni multilineari nelle basi degli spazi del dominio e del codominio ottenendo delle espressioni piene di indici ed equivalenti alle definizioni imbarazzanti ed unificando quindi il tutto.

Vi lascio con una ben nota massima leggermente modificata per l’occasione: solo lo stolto perde tempo a guardare l’indice e non cosa indica.

Bibliografia

Consulta la pagina a questo link