La dimostrazione dell’irrazionalità della radice di 2 e una sua generalizzazione.

La dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale è celebre ma esistono diverse dimostrazioni alternative, una in particolare è di una semplicità disarmante anche se è la meno nota.

Ippaso, la commensurabilità e l’incommensurabilità.

Il filosofo e matematico greco Ippaso (da Metaponto) (Metaponto 530AC – Crotone 450 AC) dimostrò che potevano esistere quantità incommensurabili. Detto così sembra poco più di una banalità ma bisogna vedere le cose nel loro contesto storico per dare loro il giusto significato.

La filosofia Pitagorica del tempo riteneva che tutto fosse commensurabile. In termini geometrici potremmo dire che dati due segmenti è sempre possibile trovare un sottomultiplo comune ad entrambi o in modo equivalente partendo dal primo si poteva trovare un suo multiplo intero che aggiunto a qualche suo sottomultiplo intero forniva un segmento congruente con il secondo segmento e viceversa. In entrambi i modi di vedere le cose non è scontato che sia sempre possibile commensurare due segmenti arbitrari ma per i pitagorici un segmento non commensurabile semplicemente non poteva esistere.

La filosofia pitagorica si estendeva oltre dicendo che tutto l’universo era governato dalla commensurabilità, tutto è numero.

Ippaso, mostrando che la diagonale di un quadrato non era commensurabile con il lato, mise in crisi tutta la filosofia del tempo e la concezione dell’universo stesso: un disastro intellettuale insomma. Non si poteva dire che la diagonale di un quadrato non esisteva, era possibile costruirla geometricamente, era evidente. Come succede anche agli umani contemporanei, quando c’è un problema troppo grande da accettare o da risolvere invece di affrontarlo preferiscono prendersela con chi lo ha sollevato: pare che Ippaso venne eliminato fisicamente dai seguaci della setta pitagorica ma non si capisce se è una leggenda o un fatto storico.

Modernamente la commensurabilità viene espressa con i numeri razionali cioè le frazioni mentre l’incommensurabilità viene espressa con la nozione di numero irrazionale, nomi che giocano con la storia di questi numeri ma che vengono detti così per altri motivi; infatti razionale viene da ratio o rapporto e irrazionale da non-razionale.

La dimostrazione di Ippaso

La dimostrazione di Ippaso compare in tutti i libri perché storica e perché semplice, compare anche nei testi di analisi e di teoria dei numeri di livello universitario. La dimostrazione è per assurdo

Per assurdo supponiamo che $\sqrt{2}$ sia esprimibile come una frazione:

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

possiamo supporre che i numeri p e q siano coprimi vale a dire che non abbiamo fattori in comune vale a dire che non si possono fare ulteriori semplificazioni, spero sia chiaro.

Facciamo il quadrato per liberarci della radice ed eliminiamo il denominatore moltiplicando tutto per $q^2$:

2q^2=p^2

Risulta che $p^2$ è multiplo di 2, è pari se si preferisce, ma pensando alla decomposizione in fattori primi la potenza del fattore 2 deve essere almeno 2 quindi deve essere:

p^2=2^2k=4k

in pratica $p^2$ deve essere un multiplo di 4.

Sostituiamo il risultato nell’equazione precedente:

2q^2=4k \newline
q^2=2k

la seconda riga si ottiene dividendo per 2. Si ottiene che anche $q^2$ deve essere multiplo di 2, o pari, e quindi anche q deve essere multiplo di 2.

Siamo partiti dall’idea che p e q fossero coprimi, cosa che si può sempre fare ma alla fine abbiamo ottenuto che non è possibile e questa è una contraddizione ed è la fine della dimostrazione di Ippaso.

Osservazioni

La dimostrazione originale di Ippaso non mi è nota, bisogna considerare che ai suoi tempi non c’era la notazione moderna con cui scriviamo radici, potenze e frazioni quindi presubilmente era un misto di figure geometriche e parole. La dimostrazione che si trova nei libri è certamente stata elaborata per renderla moderna.

La dimostrazione non dice che $\sqrt{2}$ è irrazionale, dice soltanto che non può essere una frazione ridotta ai minimi termini. Per poter affermare che non è razionale bisogna escludere anche che non sia un intero; cosa che a volte viene omessa forse perché ritenuta ovvia o per semplice distrazione ma se vogliamo dimostrarlo dobbiamo cambiare completamente modo di ragionare.

Si parte da una disuguaglianza doppia e si estrae la radice:

1<2<4 \newline
\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4} \newline
1<\sqrt{2}<2

La prima catena di disuguaglianze è ovvia ed è importante che i segni di disuguaglianza siano stretti.

Per ottenere la seconda catena basta mettere la radice che essendo monotona strettamente crescente mantiene la direzione delle disuguaglianze ed anche la strettezza.

Infine l’ultima riga si ottiene calcolando le radici e si ottiene che $\sqrt{2}$ è limitata tra 1 e 2 ma non ci sono interi tra questi due numeri e nemmeno può essere uguale ad uno degli estremi essendo le disuguaglianze strette. Si conclude che non può essere un intero.

Tutta la dimostrazione comunque lascia un senso di insoddisfazione: si parte da due interi coprimi e si scopre che non possono esserlo, il legame con la radice non è proprio evidente anche perché sparisce al primo passaggio ma guardando bene…

Coprimalità

Analizziamo meglio l’idea di coprimalità, ci serve tra poco.

Ogni numero naturale per il teorema fondamentale dell’aritmetica si può decomporre in fattori primi cioè in prodotti di potenze di numeri primi e lo si può fare in modo univoco, quindi due numeri naturali si possono scrivere come:

p=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \dots p_n^{\alpha_n} \newline
q=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2} \dots q_m^{\beta_m} \newline

I numeri $\alpha_i$ e $\beta_j$ sono numeri naturali, i numeri $p_i$ e $q_j$ sono numeri primi.

Possiamo considerare il rapporto:

\frac{p}{q}=\frac{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \dots p_n^{\alpha_n}}{q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2} \dots q_m^{\beta_m}} \newline

Se ci sono fattori primi in comune tra numeratore e denominatore si possono fare delle semplificazioni altrimenti no. Nel secondo casi si dicono coprimi e possiamo scrivere:

\{p_1,p_2,\dots q_n\}\cap \{q_1,q_2,\dots q_m\}=\empty

Se calcolo il quadrato del rapporto o anche una qualsiasi altra potenza l’effetto è di cambiare la potenza dei numeri primi ma non i numeri primi:

\Big\lparen\frac{p}{q}\Big\rparen^2=\frac{p^2}{q^2}=\frac{p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2} \dots p_n^{2\alpha_n}}{q_1^{2\beta_1}q_2^{2\beta_2} \dots q_m^{2\beta_m}} \newline

quindi se erano coprimi prima sono coprimi anche dopo.

Ora possiamo vedere un’altra dimostrazione più semplice:

L’ovvia dimostrazione

Partiamo come prima supponendo per assurdo che la radice si possa esprimere come il rapporto di due naturali coprimi:

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

ora eleviamo al quadrato:

2=\frac{p^2}{q^2}

Ci basta leggere: a destra dell’uguaglianza c’è il rapporto di due naturali coprimi mentre a sinistra c’è un naturale. Finito. Abbiamo già trovato un assurdo senza fare ulteriori ragionamenti.

Questa dimostrazione io l’ho trovata da solo tempo fa ma poi l’ho vista da qualche parte in internet, poi l’ho dimenticata e poi mi è tornata alla mente ed ho fatto qualche ricerca e nel sito di Alexander Bogomolny cut the knot (in inglese) ho trovato una lista di dimostrazioni dell’irrazionalità di radice di 2 in questa pagina. La dimostrazione che ho presentato è la numero 4. Qui viene anche citato che Lagrange e De Morgan ne avevano già parlato.

Mi piacerebbe sapere quante persone che hanno studiato la dimostrazione di Ippaso hanno notato questa contraddizione dopo la prima riga.

Ovviamente manca la dimostrazione che $\sqrt{2}$ non può essere un intero ma come prima va dimostrata a parte.

Generalizziamo

Sia la dimostrazione di Ippaso che quella più corta possono essere generalizzate. Qui mi occupo della seconda.

Non tutte le radici di un intero sono irrazionali, se l’intero è un quadrato perfetto e la radice è quadrata ovviamente si ottiene un intero positivo e lo stesso dicasi se la potenza è di grado n. Diremo che un numero è una n-potenza perfetta se è un naturale elevato ad una potenza n.

Possiamo considerare i numeri naturali compresi tra due potenze perfette consecutive e calcolarne la radice, definiamo quindi questi numeri e li indichiamo con la lettere s perché mi piace:

s:=\sqrt[n]{M^n+k} \newline
n  \ge 2 \qquad M \ge 1 \qquad  1 \le k \lt (M+1)^n-M^n

La condizione $n \ge 2$ significa che consideriamo le radici quadrate, cubiche, ecc ma non la prima potenza o negative.

La condizione $M \ge 1$ significa che stiamo considerando numeri positivi non nulli come n-potenze perfette.

La condizione su k chiede che sia almeno 1 per evitare di considerare la n-potenza perfetta ma che sia inferiore al numero che sommato sotto radice a $M^n$ fornisca la n-potenza perfetta successiva.

L’esclusione di M=0 si capisce subito, abbiamo:

1 \le k \lt (0+1)^n-0^n=1 \newline

quindi k non è definito ma se prendiamo M=1:

1 \le k \lt (1+1)^2-1^2=3 \newline
s:=\sqrt[2]{1^2+1}=\sqrt{2} \newline
s:=\sqrt[2]{1^2+2}=\sqrt{3} \newline

Si noti che prendendo k=3 si otterrebbe la radice di 4 che è 2 perché 4 è un quadrato perfetto.

Dimostriamo

Possiamo dimostrare facilmente che i numeri s sono irrazionali generalizzando la dimostrazione breve.

Per assurdo se i numeri s fossero un rapporto di coprimi avremmo:

s:=\sqrt[n]{M^n+k}=\frac{p}{q} \newline
n  \ge 2 \qquad M \ge 1 \qquad  1 \le k \lt (M+1)^n-M^n

elevando alla potenza n-esima otteniamo:

M^n+k=\frac{p^n}{q^n} \newline

ma la frazione a destra è ancora fatta di interi coprimi mentre a sinistra abbiamo un numero naturale quindi non può essere una frazione.

Vediamo se può essere un intero:

M^n \lt M^n+k \lt (M+1)^n \newline

Le disuguaglianze sono ovvie, la prima da sinistra perché ad $M^n$ aggiungiamo k che è maggiore di 1, la seconda perché il valore massimo di k evita di passare alla n-potenza perfetta successiva.

Estraiamo la radice n-esima:

\sqrt[n]{M^n} \lt \sqrt[n]{M^n+k} \lt \sqrt[n]{(M+1)^n} \newline
M \lt \sqrt[n]{M^n+k} \lt M+1 \newline

nella seconda riga la potenza si elide con la radice.

Otteniamo che il nostro radicale è tra due interi successivi, tenendo conto che le disuguaglianze non cambiano direzione e rimangono strette con l’estrazione di radice, e quindi non può essere un intero.

Non essendo né frazioni né interi i numeri s devono essere irrazionali.

Qualche esempio

Facendo variare M ed n si ottengono infiniti esempi di irrazionali:

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{c:c:c:c}
  n & M & (M+1)^n-M^n  &  Es. \\ \hline
   2 & 1 & 3 & \sqrt{2} \quad \sqrt{3} \\ \hline
   2 & 2 & 5 & \sqrt{5} \quad \sqrt{6} \quad \sqrt{7} \quad \sqrt{8} \\ \hline
   3 & 1 & 7 & \sqrt[3]{2} \quad \sqrt[3]{3} \quad \sqrt[3]{4} \quad \sqrt[3]{5} \quad \sqrt[3]{6} \quad \sqrt[3]{7} \\ \hline
   3 & 2 & 19 & \sqrt[3]{9} \quad \sqrt[3]{10} \quad \sqrt[3]{11} \dots \sqrt[3]{25} \quad \sqrt[3]{26} 
\end{array}

Corollario

In particolare la radice n-esima di un qualsiasi numero primo è irrazionale.

\forall n \ge 2 \quad \sqrt[n]{p} \notin \mathbb{Q}

Un numero primo non può essere decomposto quindi non è una n-potenza perfetta altrimenti sarebbe il prodotto di un numero per sé stesso n-volte. Allora deve essere compreso tra due n-potenze perfette e quindi la sua radice n-esima è un numero di tipo s che abbiamo mostrato essere irrazionale.

Basta così.

Concludendo

Siamo partiti da una dimostrazione di 2500 anni fa che sconvolse il mondo di allora. L’abbiamo analizzata e trovato qualche dettaglio interessante in particolare che partendo da una frazione di numeri coprimi bastava fermarsi al primo passo della dimostrazione per vedere che qualche cosa non andava. Basandoci su questo fatto siamo riusciti a trovare una facile generalizzazione a qualsiasi potenza e numero.

Da notare che la dimostrazione che il radicale non può essere un intero richiede una dimostrazione a parte. Provate voi, se riuscite, a capire il perché servono due dimostrazioni diverse invece di una sola.

Vi saluto e speriamo che le guerre in corso finiscano rapidamente e definitivamente cosa non scontata.

Bibliografia

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