Convessità, concavità e disuguaglianza di Jensen

Quanta confusione di parole c’è dietro al concetto di convessità e quanto poco è nota la disuguaglianza di Jensen.

Convesso o concavo?

Prendi un barattolo del caffè, quello tipico cilindrico di latta. Ora entra al suo interno. Cosa stai facendo? intendo mentalmente…. Ora fissa la parete, ai tuoi fianchi ti sentirai avvolto dalla latta. Esci e rifai l’esperienza dall’esterno, fissando la parete ora sentirai la latta sfuggire davanti alla tua vista sia a destra che a sinistra. In pratica abbiamo preso una superficie curva e l’abbiamo guardata dai due lati, non diciamo da dentro e da fuori perché topologicamente è sbagliato. La curva è una ma abbiamo notato delle differenze nei due casi dovute alla diversa direzione di osservazione.

In matematica la superficie osservata dall’interno viene detta convessa, quella osservata dall’esterno, di conseguenza, viene detta concava. Dico: di conseguenza perché in realtà non c’è bisogno di nominarla in quanto esiste solo la definizione di insieme convesso che vedremo tra poco.

Ora viene la confusione: sul vocabolario i termini convesso e concavo sono invertiti. Pensate ad un laghetto di alta montagna, esso si è formato in una conca quindi la parte concava è quella vista dall’interno del lago. In una scodella versiamo la minestra dalla parte concava e non dalla parte convessa; come vedete è tutto al contrario.

Intuitivamente una funzione è detta convessa quando sorride e concava quando fa la faccina triste, alcuni dicono che è convessa quando appare come una scodella mentre è concava quando appare come un ombrello: mi piace di più la faccina ma dite pure come volete.

In alcuni libri di analisi i termini sono invertiti ma, io utilizzerò la convenzione più diffusa quindi un sorriso per la convessità.

L’insieme convesso.

Per semplicità pensiamo al piano euclideo e ad un suo sottoinsieme. Prendiamo due punti dell’insieme ed uniamoli con un segmento. Abbiamo due semplici casi: il segmento appartiene interamente all’insieme, il segmento ha almeno un punto che non appartiene all’insieme. Se per ogni coppia di punti dell’insieme il segmento appartiene interamente all’insieme allora viene detto convesso.

Rifacendoci all’esperimento mentale della latta di caffè possiamo dire che se sono all’interno della scatola e prendo due punti uniti da un segmento, se volete entrate nella scatola con una corda e tenetela tesa con le due mani che avete in dotazione, il segmento non toccherà mai la parete di latta perché vi avvolge oppure potete pensare che la corda si possa sempre stendere in linea retta. Se invece prendete due punti stando all’esterno della latta il segmento potrebbe incappare nella latta o la corda potrebbe essere costretta ad assumere una curvatura perché potete essere voi ad avvolgere la latta.

Esempi di figure piane convesse sono facili da trovare, partiamo dal cerchio, poi potremmo trasformarlo in un ellisse o comunque in una figura ovale, potremmo anche arrivare ad estremizzare la figura in un quadrato o un rettangolo, in generale in un poligono con gli angoli interni inferiori all’angolo piatto; scelti due punti all’interno di queste figure potrete facilmente unirli con un segmento senza dover uscire dalla figura.

Esempi di figure piane non convesse sono altrettanto semplici da trovare, basta prendere una figura convessa e portare un po’ di bordo verso l’interno permettendo a due ponti di vedersi in linea retta passando all’esterno come nella figura.

L’insieme concavo invece non è pervenuto. Non esiste una definizione di insieme concavo. Un insieme in cui due punti uniti da un segmento si ritrovano con almeno un punto del segmento che non appartenente all’insieme ? Forse potrebbe esistere ma sarebbe lontano dalla idea di concavo che intendiamo.

La classificazione degli insiemi convessi non mi è nota. Comunque è chiaro che non sono insiemi per forza limitati, il piano stesso è convesso ed un rettangolo con due lati prolungati all’infinito tipo un nastro con o senza inizio formano esempi di insiemi convessi ma illimitati.

Generalizziamo l’insieme convesso

Non è difficile pensare ad insiemi convessi nello spazio o in dimensioni maggiori di 3. In dimensione 1 abbiamo a che fare con intervalli. Certo però che l’utilizzo dell’idea di segmento nella sua definizione restringe l’idea allo spazio euclideo.

Non dico che non sia possibile estendere la definizione a insiemi qualsiasi in cui sia definita l’idea di segmento ma al momento non mi è nota tale generalizzazione per cui se qualcuno volesse provare ad inventarla potrebbe essere una buona occasione.

La funzione convessa e concava.

Limitiamoci al caso di funzioni di una variabile reale a valori reali. In questo modo possiamo disegnare in grafico e utilizzare un po’ di intuito geometrico. Tracciamo una linea continua che rappresenti il grafico di una funzione monotona, per semplicità monotona crescente.

Come l’avete disegnata? Ci sono almeno 4 possibilità: una bella retta, una curva all’insù tipo sorriso, una curva all’ingiù tipo faccina triste, una biscia crescente. Altre possibilità: una funzione monotona crescente con un’infinità numerabile di punti di discontinuità; se siete in questo caso allora siete molto bravi a disegnare e probabilmente non avete bisogno di leggere questo post. Per tutti gli altri esseri umani la domanda è: cosa differenzia le 4 curve? Ovviamente la convessità ma, come possiamo definirla nel caso di una funzione?

Ci sono 3 definizioni di convessità di una funzione ed altrettante, stranamente, di concavità. Ora le andiamo a guardare.

L’epigrafico

L’epigrafico è una parola affettata per dire l’insieme dei punti che stanno sopra al grafico da epi– che è un prefisso greco che significa su. Sono sicuro di aver letto da qualche parte anche una parola per sotto-grafico ma siccome non la useremo non mi sembra il caso di introdurre termini sovrabbondanti.

In termini più formali e precisi possiamo scrivere:

f: (a, b) \to \R \newline
epi(f):=\{ (x,y) \in \R^2 | x \in (a,b), y \ge f(x) \}

la funzione è definita su un intervallo non necessariamente limitato. I punti al di sopra del grafico hanno necessariamente la coordinata ascissa appartenente all’intervallo di definizione della funzione mentre la coordinata ordinata deve semplicemente essere maggiore del valore della funzione che assume in corrispondenza della stessa ascissa.

Ora che abbiamo anche questo mostro di epigrafico che cosa ce ne facciamo? Semplice, usiamo la definizione di insieme convesso e:

Una funzione è detta convessa se il suo epigrafico è un insieme convesso.

Abbiamo quindi ricondotto una definizione all’altra. Notiamo subito che il nastro infinito al di sopra della funzione è convesso a meno di quello che succede in prossimità del grafico.

Possiamo anche osservare che se consideriamo una funzione concava nel senso intuitivo cioè che forma una faccina triste, il sotto-grafico è ben definito e quindi potremmo anche definire una funzione concava se il suo sotto-grafico è convesso…un giro di parole scapestrato. In realtà la cosa è più semplice:

Una funzione f è detta concava se la sua opposta -f è convessa.

In questo modo evitiamo dilemmi inutili.

Un dilemma però rimane: se abbiamo definito solo gli insiemi convessi com’è che siamo in grado di definire le funzioni concave? La risposta è abbastanza semplice. Concavità e convessità sono sostanzialmente la stessa cosa, la differenza è la direzione di visione. L’asse delle ordinate ci fornisce una direzione naturale nel caso delle funzioni, guardando la figura si vede come si debba guardare dal basso incontrando, nel caso di funzione convessa, la calotta e quindi a dire il vero il nome coincide con la definizione di convessità del vocabolario! Che confusione! La concavità quindi vista in direzione opposta è come una convessità negativa.

Rette parametriche

Basta epigrafici, servono solo da collegamento con la definizione analitica di convessità. Come abbiamo visto la convessità è definita vicino al grafico quindi lasciamo la topologia ed entriamo nell’analisi per vedere da vicino cosa succede.

Prima di farlo è meglio introdurre qualche formula di retta parametrica in modo da evitare di perderci tra i calcoli che risulteranno invece ovvi.

Prendiamo due punti sulla retta reale ed un parametro che chiamiamo t. Un punto intermedio tra i due punti scelti possiamo scriverlo:

z=(1-t)x_1 +tx_2\newline
x_1, x_2 \in \R \newline
x_1 < x_2 \newline
t \in [0,1]

Per t=0 si ha che z coincide con il primo estremo mentre per t=1 coincide con il secondo estremo; per tutti gli altri valori di t tra 0 ed 1 si percorrono tutti i valori intermedi perché t come funzione è monotona crescente.

Chiaro che il punto con il parametro t=1 è il punto finale del segmento, il verso di percorrenza è tale da partire dall’altro punto.

Possiamo considerare anche il segmento sull’immagine della funzione:

y=(1-t)f(x_1) +tf(x_2)\newline
x_1, x_2 \in \R \newline
x_1 < x_2 \newline
t \in [0,1]

qui però non è detto che il punto finale sia maggiore di quello iniziale.

L’ultima retta che ci interessa è quella che passa per gli estremi della funzione sugli estremi dell’intervallo:

(x_1, f(x_1)) \quad (x_2, f(x_2)) \newline
y=f(x_1)+(x-x_1)\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \newline
x \in [x_1, x_2]

che in effetti mettendo al posto di x i valori degli estremi dell’intervallo fornisce i valori della funzione sugli estremi.

Ora mettiamo la nostra parametrizzazione del segmento in base al parametro t.

y=f(x_1)+((1-t)x_1 +tx_2-x_1)\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \newline
f(x_1)+t(x_2-x_1)\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \newline
f(x_1)+t(f(x_2)-f(x_1)) = \newline
(1-t)f(x_1)+tf(x_2)

Quindi l’ultima riga esprime la retta parametrizzata con il parametro t

Il disegno dovrebbe aiutare ad individuare le varie parti:

Ora, senza scrivere tante formule, possiamo anche considerare le rette tra x_1 ed un punto generico z e le rette tra z ed il punto finale x_2. Otteniamo rette come in figura:

Quello che dovrebbe essere evidente, anche se non dimostrato, è che le rette con x_1 fisso hanno tutte pendenza inferiore alla retta tra x_1 e x_2, inoltre le rette con x_2 fisso hanno invece tutte pendenze superiori alla retta tra x_1 e x_2.

Ora siamo pronti per la definizione analitica di funzione convessa.

Funzione convessa (in grande)

Avendo in mente una funzione convessa possiamo considerare la retta che unisce i punti agli estremi dell’intervallo e notare che il grafico della funzione è sempre al di sotto di essa, meglio dire non maggiore, della retta. Questa condizione però ce l’aspettiamo in ogni sotto intervallo, la funzione è non maggiore della retta specifica per quel sotto intervallo:

f((1-t)x_1 +tx_2) \le (1-t)f(x_1) +tf(x_2) \newline
\forall x_1, x_2 \in (a,b) \qquad x_1 \le x_2 \newline
\forall t \in [0,1]

Non abbiamo specificato la convessità stretta per non essere stucchevoli. Sappiate che in generale la disuguaglianza stretta si dice convessità stretta.

Facciamo un paio di osservazioni. In molti testi la parametrizzazione è differente, basta scambiare tra loro t con (1-t) e considerare che il segmento viene percorso in senso inverso. A me piace andare nel solito senso e quindi ho scritto la parametrizzazione opposta a quella molto diffusa.

La definizione vale per ogni coppia di punti presi nell’intervallo su cui la funzione viene considerata convessa.

La seconda osservazione riguarda il fatto che la definizione è detta in grande. Questo significa che la funzione è convessa su un intervallo tramite ogni possibile sotto intervallo; opposto di puntuale che vedremo più avanti.

Cominciamo a collegare la definizione data con l’epigrafico a quella analitica. Dati due punti presi sul grafico della funzione convessa essi sono collegati dal segmento di retta parametrizzata e tale segmento è al di sopra del grafico della funzione inoltre, questo è vero per ogni sottoinsieme quindi sono punti che appartengono all’epigrafico. Direi che c’è poco da aggiungere per capire che la funzione è convessa solo se l’epigrafico è convesso.

Possiamo anche toglierci il sassolino della funzione concava. La funzione f è concava solo se la funzione -f è convessa visto che ciò non fa altro che invertire l’asse delle ordinate in basso.

Ora possiamo cercare qualche proprietà significativa di una funzione convessa che ci porterà alla definizione di convessità puntuale.

La definizione è basata sulla rappresentazione parametrica della retta, se non usiamo la parametrizzazione otteniamo che una funzione è convessa solo se:

f(z) \le f(x_1) + (z-x_1)\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \newline
z=(1-t)x_1 +tx_2 \newline
\forall x_1, x_2 \in (a,b) \qquad x_1 \le x_2 \newline
\forall t \in [0,1]

il punto z sappiamo essere intermedio tra x_1 e x_2. A me piace questa definizione che è equivalente a quella comune.

Possiamo andare a vedere l’incremento della funzione in un intorno di z; dalla disuguaglianza otteniamo:

f(z)- f(x_1) \le (z-x_1) \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \newline
\frac{f(z)- f(x_1)}{z-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

essendo z maggiore di x_1 il segno della differenza è positivo e la disuguaglianza non cambia di verso quando dividiamo per z-x_1; sui testi questo punto crea confusione per via della parametrizzazione opposta che costringe a cambiare di verso alla disuguaglianza. Quindi il rapporto incrementale nell’intervallo (x_1, z) è minore del rapporto incrementale nell’intervallo (x-1, x_2). Basta pensare a z vicino ad x_2 per rendersi conto che il rapporto incrementale è una funzione monotona di z. Questo lo avevamo visto intuitivamente con la figura che mostrava le rette fisse nel punto x_1 e fisse nel punto x_2; ora è rigoroso. Questa monotonia vale per ogni intervallo scelto e quindi facendo riferimento alla figura possiamo considerare le angolazioni della varie rette che sono effettivamente crescenti ed ottenere le disuguaglianze dei rapporti incrementali:

\frac{f(x_1)- f(z)}{x_1-z} \le \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \le \frac{f(z)- f(x_2)}{z-x_2} 

Senza scrivere ulteriori formule possiamo pensare ad un ulteriore punto inferiore ad x_1 ed al rapporto incrementale l con il punto z che, essendo il rapporto monotono, risulterà inferiore al rapporto scritto più a sinistra della disuguaglianza. Allo stesso modo possiamo ottenere un rapporto incrementale L maggiore di tutti da pensarsi maggiore del rapporto incrementale presente a destra. A cosa servono queste ulteriori limitazioni dal basso e dall’alto? Semplice, servono per dimostrare l’esistenza delle derivate destra e sinistra nel punto z che essendo arbitrario dimostra l’esistenza delle derivate destre e sinistre in tutti i punti.

Infatti basta prendere i limiti sinistro e destro tramite x_1 e x_2 per ottenere:

l \le \lim_{x_1 \to z-}\frac{f(x_1)- f(z)}{x_1-z}=:D_{-}f(z) \le D_{+}f(z):=\lim_{x_2 \to z+}\frac{f(z)- f(x_2)}{z-x_2} \le L

Gli estremi garantiscono l’esistenza dei due limiti e non vengono modificati dal limite perché si riferiscono ad altri punti.

Possiamo ora scrivere la funzione in un modo bizzarro con la seguente identità:

f(x)= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}(x-x_1)+f(x_1)

se prendiamo il limite con x che va verso il punto x_1 scelto a piacere sia da destra che da sinistra otteniamo:

\lim_{x\to x_1\pm}f(x)=D_{\pm}f(x_1)(0)+f(x_1)=f(x_1)

notiamo quindi che l’esistenza delle derivare destra e sinistra implica la continuità.

Non possiamo però dimostrare la derivabilità come mostra il controesempio della funzione modulo:

f(x):=\lvert x \rvert

Tutti abbiamo presente il suo grafico e quindi la sua evidente convessità ma anche la non derivabilità nell’origine nonostante derivata destra e sinistra esistano.

Se però la derivata esiste essa deve essere monotona crescente perché lo sono i rapporti incrementali e quindi ne segue che se fosse due volte derivabile allora la derivata seconda, cioè la derivata prima della derivata, deve essere positiva.

f''(x) > 0

Funzione convessa (in piccolo)

L’analisi precedente ci porta a vedere le cose anche in piccolo. Nell’intorno di un punto qualsiasi di una funzione convessa esiste finito il rapporto incrementale. Il rapporto incrementale non è in generale una funzione continua, in generale i limiti destri e sinistri non coincidono essendo le derivate destra e sinistra… insomma lo abbiamo visto prima. Essendo il rapporto incrementale monotono questo significa che si passa da una retta all’altra in generale non con continuità ma facendo dei salti di pendenza. Tutto ciò non ci impedisce di pensare ad una retta con pendenza, rapporto incrementale se preferisci, intermedia che piazzata in un punto sul grafico lasci il grafico della funzione in quell’intorno tutto al di sopra di essa come in figura:

In generale la retta non sarà unica, basti pensare alla funzione modulo nell’origine, ma se la funzione fosse derivabile allora la tangente sarebbe unica.

La convessità in grande implica la convessità in piccolo e quindi possiamo dare la seguente definizione:

Prendiamo un punto sul grafico di una funzione (x_0, f(x_0)) e le possibili rette che passano da tale punto. Se esiste un intorno di x_0 ed una retta passante per esso per cui il grafico della funzione si trova tutto al di sopra della retta diciamo che la funzione è convessa nell’intorno.

Attenzione, quella in grande implica quella in piccolo su ogni intorno. Ovviamente quella in piccolo non dice nulla su tutto l’intervallo.

Funzione convessa (puntuale)

Ci rimane l’ultima definizione che segue da una conclusione precedente ma dobbiamo considerare la funzione derivabile due volte:

Una funzione è convessa in un punto se la sua derivata seconda è positiva.

La derivata seconda non si deve considerare nulla altrimenti potremmo avere un punto di flesso e non necessariamente la concavità ma, viceversa, se la derivata seconda in punto fosse nulla non potremmo concludere che si tratti di un punto di flesso come nella funzione x^4 che possiamo considerare come controesempio. Bisogna andare a controllare le derivate successive se esistono ma esistono anche funzioni derivabili infinite volte che possono essere sempre nulle in un punto senza mai mostrare la propria convessità.

Utilizzando la definizione in grande rientrano molte funzioni che con la definizione puntuale non risultano tali. Per questo la definizione puntuale non è molto considerata ma viene utilizzata come test sufficiente per verificare la convessità.

Costruiamo funzioni convesse

Questa parte è molto interessante perché premette di trovare molte funzioni convesse a partire da funzioni già note e da funzioni monotone che spesso sono a loro volta altre funzioni convesse.

Prima di tutto evitiamo errori clamorosi. Una funzione monotona non è per forza o convessa o concava, basti pensare al serpente che magari qualcuno ha disegnato quando ho chiesto di tracciare una funzione monotona crescente. Si pensi ad una cubica, x^3, sulla parte negativa delle ascisse è concava, sulla parte positiva è convessa. Inoltre intuitivamente potremmo pensare che un cambiamento di variabili non intacchi la convessità ma non è così, la convessità dipende dalla scelta delle coordinate. Si pensi alla funzione convessa x^2 e si faccia un cambiamento di coordinate usando ad esempio la radice cubica (consideriamo solo il semiasse positivo delle ascisse):

f(x)=x^2 \newline
x=t^{\frac{1}{3}} \newline
f(x(t))=(t^{\frac{1}{3}})^2=t^{\frac{2}{3}}

il risultato è una funzione concava e se avessimo usato la radice quadrata avremmo ottenuto:

f(x)=x^2 \newline
x=t^{\frac{1}{2}} \newline
f(x(t))=(t^{\frac{1}{2}})^2=t

che è una funzione né concava né convessa; è piatta.

Detto ciò passiamo a costruire nuove funzioni:

La combinazione lineare di due funzioni convesse con coefficienti positivi è una funzione convessa:

a,b > 0 \newline
f, g \text{ convesse} \newline
af+bg \text{ è convessa}

Quindi ad esempio è convessa:

f(x)=x^2+3\exp{(x)}

La dimostrazione è ovvia e basta applicare la definizione di convessità di cui godono le singole funzioni per ottenere quella della combinazione; i coefficienti devono essere positivi altrimenti da convessa la funzione diventa concava.

Esiste anche un teorema che cambia un po’ le carte:

Se g è monotona crescente e convessa e f è convessa allora la composizione è convessa:

g \text{ convessa e monotona crescente} \newline
f \text{ convessa} \newline
g \circ f \text{ è convessa}

Notate la differenza con il cambio di variabili. La funzione interna alla composizione è convessa ma non monotona. La dimostrazione è semplice:

f((1-t)x_1 +tx_2) \le (1-t)f(x_1) +tf(x_2) \newline
g(f((1-t)x_1 +tx_2)) \le g((1-t)f(x_1) +tf(x_2)) \newline
\le (1-t)g(f(x_1))+tg(f(x_2))

La prima riga è per definizione di funzione convessa, la seconda è per la monotonia, la terza è per la convessità di g.

Vale anche:

g \text{ concava e monotona decrescente} \newline
f \text{ convessa} \newline
g \circ f \text{ è concava}

la cui dimostrazione è analoga.

Facciamo un esempio:

f(x)=x^2 \newline
g(x)=\exp(x) \newline
g(f(x))=\exp(x^2)

La funzione f è convessa, l’esponenziale è monotona crescente e convessa quindi la composizione é convessa.

Ora tocca a voi, usate la fantasia ma verificate sempre il risultato, non illudetevi.

La convessità di Jensen

Il matematico danese Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925) il 17 gennaio 1905 pubblicò la definizione di funzione convessa seguente:

f(x)+f(y) \ge 2 f(\frac{x+y}{2})

che non è altro che un caso particolare della definizione in grande per t=1/2.

La definizione non è equivalente alla definizione in grande che oggi viene utilizzata nei testi. Per dedurre la convessità in grande è necessario imporre la continuità della funzione. Non dimostreremo questo fatto anche se i testi sono scarni. Comunque per questo motivo si usa la moderna definizione da cui si ricava la continuità come abbiamo fatto noi.

Osserviamo che la disuguaglianza di Jensen è possibile scriverla:

\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f(\frac{x+y}{2})

Il che fa saltare all’occhio la media aritmetica presente nell’espressione. La definizione si può pensare più in generale infatti possiamo pensare ad una media pesata:

t_1+t_2+ \dots + t_n =1 \newline
t_i \ge 0 \newline
x_1, x_2, \dots , x_n \in (a,b) \newline
f: (a,b) \to \R \text{ convessa} \newline
f(t_1x_1+t_2x_2+\dots + t_nx_n) \le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\dots + t_nf(x_n)

L’ultima riga è anch’essa nota come disuguaglianza di Jensen.

Se definiamo il seguente simbolo per indicare la media pesata:

\overline{x}:=t_1x_1+t_2x_2+\dots + t_nx_n  \newline
\overline{f(x)}:=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\dots + t_nf(x_n)

La disuguaglianza di Jensen diventa:

f(\overline{x})\le \overline{f(x)}

Sembrerà strano ma la disuguaglianza di Jensen è equivalente alla definizione di convessità in grande. Infatti dalla disuguaglianza di Jensen segue la convessità per n=2 mentre per induzione possiamo dimostrare la disuguaglianza di Jensen a partire dalla convessità.

Sappiamo che la disuguaglianza di Jensen vale per n=2. Supponiamola vera per n e dimostriamola per n+1.

Scegliamo n+1 punti e dei pesi per cui valgano le condizioni:

t_1+t_2+ \dots + t_{n+1} =1 \newline
t_i \ge 0 \newline
x_1, x_2, \dots , x_{n+1} \in (a,b) \newline
f: (a,b) \to \R \text{ convessa} \newline

Per la condizioni deve esistere almeno un peso positivo e diverso da 1. Se fosse 1 allora sarebbe l’unico peso e quindi avremmo un solo punto e nulla da dimostrare. Anzi possiamo tranquillamente considerarli tutti diversi da 0 altrimenti degenereremmo ad un caso con n-k più piccolo di n.

Consideriamo ora il peso di n+1 e costruiamo dei nuovi pesi:

t_1+t_2+ \dots + t_{n} =1-t_{n+1} \newline
\frac{t_i}{1-t_{n+1}} \qquad \forall i \in {1,  \dots , n} \newline
\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}} =\frac{1}{1-t_{n+1}}\sum_{i=1}^{n}t_i=\frac{1-t_{n+1}}{1-t_{n+1}}=1

Inoltre sono pesi anche:

(1-t_{n+1}) \newline
 t_{n+1}\newline
(1-t_{n+1}) + t_{n+1}=1

Penso che sia chiaro e quindi possiamo utilizzare questi pesi e scrivere la disuguaglianza per il caso base con due elementi:

f\Big ((1-t_{n+1})\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}}x_i+t_{n+1}x_{n+1} \Big ) \le (1-t_{n+1})f\Big (\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}} f(x_i)\Big ) + t_{n+1}f(x_{n+1})

Infine possiamo utilizzare l’ipotesi di induzione per il caso generico n a secondo membro:

(1-t_{n+1})f\Big (\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}} f(x_i)\Big )  \le (1-t_{n+1})\Big (\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}} f(x_i)\Big )   \newline
=\sum_{i=1}^{n}t_i f(x_i)

che rimesso nel passo precedente fornisce la tesi:

f\Big ((1-t_{n+1})\sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-t_{n+1}}x_i+t_{n+1}x_{n+1}\Big )\le \sum_{i=1}^{n}t_i f(x_i) \newline
f\Big (\sum_{i=1}^{n}t_i x_i+t_{n+1}x_{n+1}\Big )\le \sum_{i=1}^{n}t_i f(x_i)+ t_{n+1}f(x_{n+1})

Fatto.

La disuguaglianza di Jensen ha dei collegamenti con la statistica e permette di dimostrare importanti teoremi. Inoltre alcune disuguaglianze famose che storicamente sono state dimostrate precedentemente alla pubblicazione della disuguaglianza di Jensen e che portano i nomi dei matematici che le hanno dimostrare; oggi sono tutte considerabili come corollari.

Esempi famosi

Le disuguaglianze con le medie sono difficili da dimostrare ma sono facili con Jensen.

Prendiamo la funzione x^2 che è convessa allora possiamo scrivere:

\overline{x}^2 \le \overline{x^2} \newline
 \overline{x^2}  - \overline{x}^2 \ge 0

questa è la ben nota disuguaglianza degli errori quadratici medi.

Il logaritmo è una funzione concava quindi vale la disuguaglianza opposta:

\log(\overline{x})\ge \overline{\log x} \newline
 \overline{\log x}=\sum t_i\log(x_i)=\log(\prod x_i^{t_{i}}) \newline
\sum t_ix_i \ge \prod x_i^{t_{i}}

nella seconda riga abbiamo usato le proprietà del logaritmo e nell’ultima abbiamo eliminato il logaritmo mantenendo la disuguaglianza dal momento che il logaritmo è positivo e monotono. L’ultima si legge come: la media pesata aritmetica è maggiore della media pesata geometrica; la dimostrazione originale era di Cauchy

La funzione 1/x è convessa quindi:

\frac{1}{\overline{x}} \le \overline{(\frac{1}{x})} \newline
\frac{1}{\sum t_ix_i} \le \sum \frac{t_i}{x_i}

questa disuguaglianza si legge come: il reciproco della media pesata aritmetica è minore del reciproco della media pesata armonica. Rovesciando la disuguaglianza si ottiene: la media pesata aritmetica è maggiore della media pesata armonica.

Potete provare anche voi, sappiate che è possibile dimostrare le disuguaglianze di Hölder, Minkowski, Young ecc.

Esiste anche la disuguaglianza di Jensen integrale, una sorta di versione continua invece che discreta, ma mi fermo qui perché va oltre l’idea di convessità da cui siamo partiti.

Concludendo

Siamo partiti da un’idea intuitiva e fisica di convessità guardando una latta di caffè; ricordatevelo, a volte le idee migliori nascono da cose piccole. Abbiamo introdotto l’idea di insieme convesso ma poi non siamo riusciti a generalizzarla perché legata all’idea di segmento. Ci siamo quindi limitati a considerare funzioni di una variabile reale ed abbiamo introdotto l’idea di epigrafico che ci ha portati all’analisi ed alla definizione di convessità in modo analitico. Alla fine abbiamo visto che la funzione deve essere continua ed avere derivate destra e sinistra e poi ci siamo messi a discutere su altre definizioni meno interessanti. La cosa sorprendente è la disuguaglianza di Jensen che spesso nei libri viene saltata oppure lasciata negli esercizi ma che negli ultimi anni ha riscosse maggior interesse.

La disuguaglianza di Jensen risulta equivalente alla definizione di convessità ma fornisce un collegamento inaspettato con la statistica.

A posteriori potrei dirvi che quando volete studiare o dimostrare una disuguaglianza è sempre meglio cercare di capire se è possibile utilizzare la disuguaglianza di Jensen.

Mi spiace per i disegni che ho fatto e messo nel post, almeno sono originali.

Chiudo con una disuguaglianza importante: tutti beviamo acqua ma l’acqua sta diventando meno di quella che beviamo: cosa dobbiamo fare? … bere vino o birra non è una risposta valida.

Bibliografia

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