Sarà giusto?

Ho un problema, ho elaborato un ragionamento per giungere alla soluzione, ho eseguito la procedura ed ho ottenuto un risultato; sarà giusto?

Un problema semplice

Il seguente problema l’ho visto in un video di Presh Talwalkar del canale MindYourDecisions di YouTube. Il video è in inglese e si trova qui oppure in formato testo nel suo blog qui.

Il problema è di geometria euclidea ed è stato ripreso da un altro social network, sia nel video che nel blog ci sono le referenze.

Ciò che ha attirato la mia attenzione non è il problema, elementare, ma il fatto che abbia attirato l’attenzione di 14 milioni di persone e che le risposte siano state molte e varie anche se non ho delle statistiche.

Mi sono dunque chiesto: come si fa a capire tra molte possibili soluzioni qual è quella giusta? C’è qualche cosa di meglio che chiedere ad un esperto ed ottenere la 14 milionesima +1 risposta?

La domanda è molto profonda ma il problema ben si adatta per trovare qualche idea.

Il Problema

Ecco il problema: tra due linee parallele viene tracciata una linea a zig zag formata da tre segmenti che unisce le due rette. Si conoscono alcuni angoli e si chiede di trovane uno indicato con x in figura:

Nel testo si afferma che le risposte sono state molto varie: 60, 100, 40, 80, 120 e 20 e forse altre ancora.

Visto che non sono interessato al problema in sé ma a come capire se la risposta è corretta vediamo di astrarre dal problema e capire cosa potrebbe andare bene ed andare male; comunque la risposta giusta è 60 gradi, adesso che lo so non rimango sulle spine fino alla fine.

Abbiamo tre variabili che riassumiamo con ragionamento e procedimento, inoltre abbiamo il risultato.

Per ragionamento intendiamo l’insieme dei passaggi logici che abbiamo elaborato per giungere alla soluzione, ad esempio la catena dei ragionamenti effettuati per arrivare all’uso di una certa formula o di un certo teorema. Per procedimento intendiamo l’implementazione del ragionamento ad esempio tramite dei calcoli. Questo ci porta alle seguenti combinazioni:

Il risultato è sbagliato

• Il ragionamento è sbagliato, il procedimento è giusto ma il risultato non è corretto (il calcolo è corretto ma si sta applicando un ragionamento sbagliato come usare una formula che non si può applicare perché non verifica le condizioni)
• Il ragionamento è giusto, il procedimento è sbagliato, il risultato non è corretto (il tipico errore di calcolo)
• Il ragionamento è sbagliato, il procedimento è sbagliato, il risultato è sbagliato (che cosa ci si dovrebbe aspettare ?)
• Il ragionamento è giusto, il procedimento è giusto, il risultato è sbagliato (com’è possibile!)

Il risultato è giusto

• il ragionamento è giusto, il procedimento è giusto, il risultato è giusto (che si vuole di più ?)
• Il ragionamento è giusto, il procedimento è sbagliato ma il risultato è giusto (il calcolo contiene errori che si compensano e per puro caso si ottiene il risultato corretto)
• Il ragionamento è sbagliato, il procedimento è giusto ma il risultato è corretto (anche qui per puro caso si ottiene il risultato corretto)
• Il ragionamento è sbagliato, il procedimento è sbagliato ma il risultato è giusto ( da non credere…)

Le combinazioni di due valori (giusto/sbagliato) su tre elementi (ragionamento/procedimento/risultato) sono 8 (2x2x2) quindi li ho elencati tutti. Il quarto caso del risultato sbagliato lascia perplessi: ragionamento giusto, procedimento giusto ma risultato sbagliato. Chiaramente questo caso dovremmo trattarlo come impossibile ma a volte la realtà supera la fantasia. Personalmente questo caso lo associo all’evento di scrittura errata del risultato: 6 invece di 60 oppure mi dimentico di scrivere i decimali oppure per dislessia scrivo le cifre in ordine inverso… Lo so, potrebbe fare parte dell’errore di procedimento ma non ne sono convinto.

Il punto importante è che anche se il risultato è giusto abbiamo 3 possibilità che si sia ottenuto per motivi casuali o per errore umano che a sua volta può essere senza dolo o con dolo (fatto apposta).

Il metodo scientifico

La scienza nasce con il metodo scientifico di Galileo Galilei, prima c’era il caos, meglio, un sacco di idee alcune funzionanti altre meno. Non esisteva la scienza ma l’ingegneria e le cose funzionavano tramite il metodo empirico: se va bene va bene altrimenti no.

Il metodo scientifico in breve dice: elabora una teoria liberamente vincolata. Con liberamente vincolata intendo che si può costruire una teoria basandosi su quello che si vuole: credo religioso, ideologia politica, preconcetti tradizionali, anche preconcetti negativi e inaccettabili moralmente o socialmente, il buon senso qualunque cosa esso sia; ah si, volendo anche basandosi su altre nozioni scientifiche note.

Una volta che si ha una teoria, anche una sola ipotesi, non necessariamente ben espressa la si deve mettere alla prova dei fatti. Con prova dei fatti si intende fare un esperimento controllato e ripetibile il cui risultato si deve poter mettere a confronto con la teoria in modo da falsificarla cioè mettendola alla prova.

Mettere alla prova dei fatti una teoria significa che non è la Natura che si adegua alle nostre convinzioni ma sono le nostre idee a doversi adeguare alla Natura: la Natura fa quello che vuole e non gli interessa niente di quello che pensiamo.

Gli esperimenti devono essere concepiti per falsificare una teoria. Se l’esperimento è in contraddizione con la teoria la teoria è falsa e va rigettata. Se l’esperimento concorda con la teoria non si può concludere che la teoria sia vera perché potrebbe essere un caso o una falsa interpretazione dei risultati.

La scienza esclude idee e teorie con gli esperimenti riducendo le possibilità, quando le combinazioni sono state escluse ciò che rimane, per quanto possa essere stramba, deve essere la verità.

L’ingegneria nasce su ciò che rimane dopo che la scienza è passata ed ha escluso tutto ciò che non può essere.

Come possiamo applicare il metodo scientifico al nostro problema ?

Misurare

Se ci armiamo di carta, matita, righello e goniometro, possiamo fare un disegno del problema. Il disegno è un’esperienza fisica non matematica ma la geometria euclidea si può ben rappresentare con disegni nel piano. Facendo il disegno si scoprono due cose: la prima è che disegnando e arrivando a disegnare l’angolo incognito x in pratica individuiamo un ragionamento di risoluzione, la seconda è che con il goniometro possiamo effettuare una misura dell’angolo incognito ed ottenere un valore intorno ai 60 gradi.
Il mio primo di segno mi ha dato un angolo di 62 gradi, poi l’ho fatto con un po’ più di impegno ed ho ottenuto proprio 60 gradi.

Sia chiaro, non è una dimostrazione ma solo una simulazione che ci fa capire quale possa essere il valore dell’angolo anche se approssimato.

Ora applichiamo il metodo scientifico: tutte le teorie, idee ragionamenti che hanno portato ad un valore dell’angolo nettamente diverso da 60 gradi sono sbagliate.

Chi ha risposto 100, 40, 80, 120, 20 o altri valori dovrebbe riguardare il proprio ragionamento e procedimento e farsi le seguenti domande:

1. ho scritto correttamente il risultato? Forse l’ho copiato male, l’ho scritto invertito, ho confuso una cifra per un’altra, ho dimenticato uno zero che tanto non vale niente…
2. ho fatto bene i calcoli? Devo fare un’analisi cioè ripercorrere il procedimento partendo dal risultato ipotizzando che debba essere 60 gradi e cercando di capire in quale passaggio il procedimento ha impedito di arrivare al valore corretto e verificare se è sbagliato.
3. Il procedimento è giusto allora il problema deve essere nel ragionamento. Anche qui posso ricorrere all’analisi ripercorrendo il ragionamento dal fondo e cercando di capire se ho dato qualche cosa per scontato oppure se ho introdotto un’approssimazione. Se non trovo niente allora il problema è nelle assunzioni di partenza e quindi la teoria è minata alla base. Devo rinunciare alle mie convinzioni.

Personalmente avevo cercato di risolvere il problema alla sera tardi ed ho ottenuto un valore ben diverso da 60 gradi. Alla mattina successiva ho guardato il pezzo di carta su cui avevo scritto la soluzione ed ho individuato ben due errori: il primo era un errore di segno, un meno al posto di un più, il secondo era il calcolo di una angolo supplementare, pare che la sera prima 180 – 80 facesse 120…

Se il risultato è di 60 gradi non significa che sia tutto giusto. In matematica si deve ricorrere ad una dimostrazione ma poi il problema si sposta su come verificare che la dimostrazione è giusta. L’idea è che introducendo variazioni nella dimostrazione oppure seguendo principi diversi si debba avere coerenza nei risultati. Lo so, mica sempre si possono avere diverse dimostrazioni dello stesso fatto come nel teorema di Pitagora che abbiamo visto qui o nell’esempio di questo post. A volte per verificare un risultato è necessario fare degli esempi dal più semplice al più complesso per avere una verifica empirica.

Una soluzione

La soluzione proposta nel video richiede la costruzione di due ulteriori rette parallele alle precedenti. Aggiungere un elemento esterno alla teoria si dice: aggiungere un elemento esogeno. La parola esogeno mi piace, è proprio tecnica e specifica ma ha il difetto di non essere prontamente riconoscibile ai non addetti ai lavori.

Ecco comunque la figura:

Prese a due a due le rette parallele sono secate dai tre segmenti del percorso a zig zag. Possiamo dire che gli angoli alterni interni sono uguali e quindi partendo dall’alto l’angolo di 40 gradi è una parte dell’angolo di 80 gradi. La parte rimanente è di 80-40=40 gradi per cui una parte dell’angolo x è di 40 gradi. Partendo dal basso si vede che la parte rimanente deve essere di 20 gradi e quindi l’angolo in totale misura 40+20=60 gradi. Fatto.

La dimostrazione è basata sulla geometria euclidea, richiede nozioni da scuole elementari. La difficoltà è nell’atto creativo di introdurre gli elementi esogeni costituiti dalle due rette parallele aggiuntive.

Un’altra soluzione

Come ho descritto qui un problema richiede un contesto per dargli un significato. Il problema che stiamo cercando di risolvere non ce l’ha. Cosa stiamo risolvendo? Perché? A cosa serve ?

Chi ha avuto modo di studiare topografia, geometri ed ingegneri edili prima di tutti ma non solo, potrebbe riportare il problema all’interno di un contesto noto ed utilizzare il metodo delle poligonali largamente utilizzato in topografia.

Con un po’ di immaginazione potremmo pensare che le due rette parallele siano due muri oppure due strade o quello che ci pare e di voler misurare la loro reciproca distanza. Il problema è che non si ha una visione libera ed in mezzo ci sono degli ostacoli come alberi, laghetti, case o altro e quindi si debba costruire una poligonale: la nostra linea a zig zag, di cui possiamo misurare angoli e distanze e con un po’ di trigonometria calcolare la distanza tra le due linee parallele.

Possiamo pensare al topografo che a piedi percorre la poligonale svoltando a sinistra e a destra ad ogni angolo. Per convenzione partiamo dal basso e consideriamo le svolte a sinistra positive e quelle a destra negative, abbiamo:

+20+y-(180-80)-40=0 \newline
y=120 \newline
x=180-120=60

Dove y è l’angolo supplementare di x. La figura seguente dovrebbe aiutare:

Ho riportato tutti gli angoli in basso al punto di partenza tracciando le parallele alle direzioni, anche li si vede bene che y deve valere 120.

Come verifica si potrebbe partire dall’alto invece che dal basso:

40+100-y-20=0 \newline
y=120 \newline
x=180-120=60

Si noti che gli angoli considerati hanno la stessa misura ma non sono quelli disegnati in figura. Il risultato comunque coincide.

La soluzione quindi è aiutata da un contesto che permette di utilizzare un metodo topografico ben noto.

Un’altra soluzione ancora

Anche qui possiamo introdurre un elemento quasi esogeno, infatti basta prolungare il segmento centrale della linea a zig zag per ottenere una retta che interseca le due rette parallele come nel disegno:

Anche qui gli angoli alterni interni sono uguali. Partendo dal triangolo in altro possiamo calcolare l’angolo mancante di 40 gradi. Ci sono due modi per vederlo: il primo calcola l’angolo supplementare a quello di 80 gradi ottenendo 100 gradi che assieme a quello di 40 gradi noto ne richiede altri 40 per arrivare ai 180 che sono la somma degli angoli interni di un triangolo, il secondo richiede di sapere che l’angolo supplementare di un angolo di un triangolo, come gli 80 gradi, è la somma degli altri due angoli per cui sottraendo 40 gradi si ottiene l’altro angolo di 40 gradi. L’una o l’altra è una scelta del tutto arbitraria dipendente dalle conoscenze che si hanno ma comunque una variazione nella dimostrazione che aiuta a verificare la coerenza del ragionamento anche se in questo caso è poco evidente.

Allora anche l’angolo alterno interno sull’altra retta parallela è di 40 gradi. Possiamo risolvere il triangolo inferiore. 40 gradi più altri 20 fanno 60 gradi. Come detto la somma è pari a quella dell’angolo supplementare che è x oppure si può continuare cercando l’angolo mancante del triangolo che è di 180-60=120 gradi che è il supplementare dell’angolo incognito per cui x=180-120=60

Anche in questo caso il risultato torna e la soluzione è suggerita da un elemento quasi esogeno in quanto la retta ottenuta dal segmento centrale già esiste basta “vederla”.

Concludendo

Siamo partiti da un problema elementare pubblicato su un social e ripreso da altri che ha fornito diverse soluzioni e ci siamo chiesti come fare a determinare se una soluzione ad un problema è corretta.

Abbiamo scomodato il metodo scientifico per mettere in evidenza tute le possibilità di errore ed abbiamo visto che si hanno 7 possibilità di errore contro 1 sola di correttezza.

Con un disegno fatto su carta ed una misura fatta con un goniometro abbiamo avuto la stima dell’angolo e questo ci ha permesso di escludere molti risultati ma non di assicurare la certezza del risultato a tutti quelli che hanno risposto correttamente perché rimangono comunque altre fonti di errore da verificare.

Per assicurare che il risultato sia corretto è necessario trovare una dimostrazione ma poi ci si chiede: come faccio a sapere se è corretta?

Altre dimostrazioni aiutano a essere confidenti sul risultato ma non esclude la possibilità che siano tutte dimostrazioni sbagliate.

Non esiste un metodo che fornisca certezza. Bisogna ricontrollare il ragionamento e l’implementazione più volte e anche da parte di altri con conoscenze adeguate; si chiama verifica dei pari e nelle pubblicazioni scientifiche è la base per poter pubblicare qualunque cosa. Se una rivista pubblica senza verifica dei pari non è scientifica.

Bene, penso che questo problema elementare abbia un buon valore didattico ed è per questo che ne ho scritto.

Alla prossima e ricordatevi che essere superstiziosi porta male.

Bibliografia

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