Quadrare il cerchio senza riuscirci

Vediamo un problema di geometria che da semplice diventa un po’ più complicato portando a studiare la quadratura del cerchio senza riuscirci ovviamente.

Un problema dai social…

Ho visto un problema di geometria sui social che ripropongo con un disegno fatto con Geogebra:

C’è un quadrato e un cerchio che passa per i vertici inferiori ed il punto medio del lato superiore. La domanda è: tra il perimetro del quadrato e la lunghezza della circonferenza chi è il più lungo ?

Il risultato lo potete trovare sui social, in particolare qui c’è il link al video di Presh Talwalkar in inglese.

Comunque capita che il perimetro del quadrato è maggiore della lunghezza della circonferenza anche se di poco.

Bene, fino a qui niente di speciale anche se il problema non è banale da risolvere è comunque uno dei tanti problemi di geometria che girano in internet; ma non è così.

Se osserviamo la figura vediamo che la circonferenza è per lo più esterna al quadrato e solo la parte alta interna. questo significa che la lunghezza della circonferenza è intuitivamente maggiore di quella del quadrato ma non è così. Attenzione all’intuito ed anche al buon senso, spesso sbaglia e questo ne è un esempio.

Un’altra osservazione

Se ingrandiamo il cerchio e lo facciamo passare per tutti e quattro i vertici otteniamo un cerchio completamente esterno al quadrato e quindi con lunghezza della circonferenza certamente maggiore del perimetro del quadrato come nella figura seguente:

Una circonferenza passa per tre punti quindi mantenendo i due punti fissi sui vertici del lato inferiore del quadrato si ottiene il cerchio in figura scegliendo come terzo punto il vertice A in alto a sinistra mentre, scegliendo il punto medio G si ottiene la figura precedente del problema da cui siamo partiti.

Facendo scorrere il terzo punto sul segmento AG otteniamo varie circonferenze la cui lunghezza varia con continuità dal valore maggiore del perimetro del quadrato in A al valore minore del perimetro del quadrato in G. Quindi in mezzo, da qualche parte, deve esistere un punto in cui la lunghezza della circonferenza e il perimetro del quadrato si uguagliano. Problema: qual è questo punto?

Se fossimo in grado di individuare il punto in questione potremmo dire di aver quadrato il cerchio ma dobbiamo dire subito un paio di cose: la prima è che non si può ed è dimostrato da più di un secolo quindi cercheremo un’approssimazione e vedremo quanto riusciremo ad approssimare; la seconda è che in realtà, per come è posto il problema, stiamo cerchificando il quadrato. Infatti non partiamo da un cerchio per ottenere un quadrato ma viceversa, siamo partiti da un quadrato e stiamo trovando un cerchio che lo arrotonda. Le due cose sono equivalenti ma se proviamo a fare una costruzione geometrica le cose cambiamo, basta provare.

Il problema che propongo quindi è una generalizzazione del problema di partenza che contiene anche quello più facile rappresentato della seconda figura.

Che figura…

Mi sono sbizzarrito con Geogebra ed ho ottenuto una figura in cui posso con un cursore spostare il punto da A a G vedendo chiaramente la figura geometrica cambiare. Vi invito a provare a farla anche voi, non è difficile e il software è online quindi si fa dal browser senza dover installare niente e senza dovervi iscrivere a niente. Inoltre non si usa l’IA che oramai sembra che senza di essa non si possa fare neanche un disegno che facevano gli antichi greci con un bastone sulla sabba di una spiaggia.

Ecco la mia figura:

Il punto E è praticamente il punto cercato anche se non è possibile posizionarlo con grande precisione, per questo la figura rappresenta anche un punto generico lungo il segmento.

Il resto sono calcoli e vi propongo il modo in cui l’ho risolto ma volendo potreste provare altre vie.

La relazione tra raggio e lato del quadrato

Riferendoci alla figura abbiamo il quadrato il cui lato ha lunghezza L, in particolare il lato CD in basso. I tre punti che individuano la circonferenza sono i due vertici C e D in basso ed il generico punto E posizionato sul lato superiore, per mia comodità lo metto sulla parte sinistra del lato, la figura è simmetrica rispetto al punto medio per cui è indifferente.

I tre punti formano un triangolo e presso il punto E forma un angolo che ho deciso di chiamare $\epsilon$ (epsilon). Il raggio della circonferenza che passa dai tre punti si chiama R e i suoi genitori non hanno avuto molta fantasia nel chiamarlo così.

Visto che il lato in basso del quadrato è anche la base del triangolo possiamo scrivere, per il teorema dei seni:

\frac{L}{\sin(\epsilon)}=2R

A volte il teorema dei seni viene presentato come l’uguaglianza tra i rapporti dei lati ed il seno dell’angolo opposto corrispondente, questo rapporto comune è pari al diametro della circonferenza che circoscrive il triangolo ma non sempre viene scritto per cui ve lo dico per sicurezza.

La posizione del centro

Che domanda, il centro sta in centro! Il centro lo chiamiamo J (e non C come vorrebbe qualche genitore…) e se il centro sta in centro allora vogliamo sapere dove è posizionato rispetto al quadrato cioè volgiamo la lunghezza del segmento FJ e la lunghezza del segmento GJ.

Il lato in basso del quadrato forma con i raggi passanti per i vertici un triangolo isoscele CDJ ed il segmento FJ non è altro che la sua altezza H, otteniamo facilmente usando il solito teorema di Pitagora che:

H^2=R^2-{\Big(\frac{L}{2} \Big)}^2

Dove il raggio e il lato sono legati dalla relazione precedente quindi possiamo esprimere H sia in funzione di L ed $\epsilon$ che di R ed $\epsilon$ a seconda se volgiamo cerchificare o quadrare.

Chiamiamo y la lunghezza del segmento GJ che assieme al segmento GE forma un triangolo rettangolo JGE di ipotenusa R, chiamiamo x la lunghezza di GE, per il teorema di Pitagora i tre lati sono in relazione:

x^2=R^2-y^2

Abbiamo anche che:

L=y+H 

Da cui:

y=L-H

Ora H è possibile esprimerla in funzione di L ed R per cui anche y si può esprimere in funzione delle due:

y=L-\sqrt{R^2-{\Big(\frac{L}{2}\Big)}^2}

Possiamo anche esprimere x in funzione del lato e del raggio:

x^2=R^2-y^2=-\frac{3}{4}L^2+2L\sqrt{R^2-{\Big(\frac{L}{2}\Big)}^2}

Queste relazioni valgono per un generico cerchio.

Verifichiamo

Sempre meglio verificare se le formule ottenute sono corrette, possiamo avere maggiore sicurezza se ritroviamo i due casi particolari con cui abbiamo iniziato il post.

Mettiamo il punto E in G, se preferite imponiamo che x sia zero. Dalla relazione che definisce x otteniamo:

0=R^2-y^2

Per cui effettivamente il raggio e y coincidono come ci si aspetta. Inoltre dato che y ed H insieme sono lunghe come il lato del quadrato si ottiene:

H=L-R

Come ci si aspetta dalla prima figura.

Ora proviamo a far coincidere E con A. In tal caso la nostra x coincide con L/2 per cui:

{\Big(\frac{L}{2}\Big)}^2=R^2-y^2

Per cui ora y differisce da R:

y^2=R^2-{\Big(\frac{L}{2}\Big)}^2

Ma la formula generale di y è:

y=L-\sqrt{R^2-{\Big(\frac{L}{2}\Big)}^2}

il confronto, la radice della seconda è y nella prima, ci dice che:

y=L-y

Da cui:

y=\frac{L}{2}

Quindi x e y sono uguali come ci si aspetta dalla figura, inoltre data ancora la relazione che y e H insieme hanno lunghezza pari al lato:

L=\frac{L}{2}+H

Si ottiene ancora che H è metà del lato come ci si aspetta.

Funziona tutto. Passiamo alla domanda finale.

Perimetro e circonferenza

Il perimetro del quadrato è quattro volte il lato. La lunghezza della circonferenza è pi-greco volte il diametro. La domanda è: perché non si dice perimetro di una circonferenza… ? Non è questa la domanda. La domanda è: qual è il rapporto tra le due dimensioni ?

P=4L \qquad C=\pi D=2\pi R

Per rispondere alla domanda dobbiamo conoscere la relazione tra raggio e lato che è la prima formula che abbiamo ricavato per cui possiamo scrivere:

P=4L \qquad C=\frac{\pi}{\sin(\epsilon)}L

Oppure:

P=8\sin(\epsilon)R \qquad C=2\pi R

Il rapporto tra lunghezza della circonferenza e perimetro è quindi:

\frac{C}{P}=\frac{2\pi \R}{8\sin(\epsilon)R}=\frac{\frac{\pi}{\sin(\epsilon)}L}{4L}=\frac{\pi}{4\sin(\epsilon)}

Verifichiamo ancora

Se il Punto E coincide con A allora l’angolo $\epsilon$ è $\pi/4$ per cui il seno vale $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e il rapporto delle lunghezze è:

\frac{C}{P}=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\approx 1.1107...

Quindi la circonferenza è maggiore del perimetro come ci si aspetta.

Se il punto E coincide con G invece, l’angolo ha tangente, come si vede dalla figura, pari a :

\tan(\epsilon/2)=\frac{L/2}{L}=\frac{1}{2}

La formula di duplicazione della tangente è:

\tan(\epsilon)=\frac{2\tan(\epsilon/2)}{1-\tan^2(\epsilon/2)}

per cui:

\tan(\epsilon)=\frac{2\cdot 1/2}{1-1/2^4}=\frac{4}{3}

tra seno e tangente vale:

\sin(\epsilon)=\pm \frac{\tan(\epsilon)}{\sqrt{1+\tan^2(\epsilon)}}

Per cui:

\sin(\epsilon)=\frac{4}{5}=0.8

Segue:

\frac{C}{P}=\frac{5\pi}{16}=0.9817...

Quindi la circonferenza è minore del perimetro come non ci si aspetta ma ci si aspetta dalla soluzione data sui social.

Nota: sui social si trova che il perimetro vale 8y mentre la circonferenza 7.85y per cui il rapporto vale circa 0.9813 ma usando i valori esatti invece di quelli approssimati tutto torna. Sui social y ü diverso dal nostro y.

Quadriamo il cerchio o circoliamo il quadrato

Se vogliamo che la lunghezza della circonferenza e il perimetro siano uguali dobbiamo imporre che il rapporto valga 1 per cui:

\frac{C}{P}=\frac{\pi}{4\sin(\epsilon)}=1

Da cui:

\frac{\pi}{4}=\sin(\epsilon)

Se pensate che l’angolo valga 45 gradi state sbagliando, qui è il seno che vale $\frac{\pi}{4}$ non l’angolo che invece vale circa:

\epsilon\approx 51^{\circ} 45' 27''

Possiamo ricavare x e y sia in funzione di R e $\sin(\epsilon)$ che di L e $\sin(\epsilon)$ e poi sostituendo il valore del seno che rende uguali le lunghezze della circonferenza e del perimetro. I calcoli ve li lascio per esercizio.

x = R\sqrt{4\sin(\epsilon)\sqrt{1 - \sin^2(\epsilon)} - 3\sin^2(\epsilon)}

y=R\left (2\sin(\epsilon)-\sqrt{1-\sin^2(\epsilon)}\right )

x = L\sqrt{\frac{\sqrt{1 - \sin^2(\epsilon)}}{\sin(\epsilon)} - \frac{3}{4}}

y=L\left(1-\frac{1}{2\sin(\epsilon)}\sqrt{1-\sin^2(\epsilon)} \right)

Ho lasciato di proposito in tute le formule l’espressione del solo seno anche se le radici sono chiaramente il coseno per poter fare la sostituzione del valore finale che è noto solo per il seno. Per cui:

x = \frac{R}{4}\sqrt{4\pi\sqrt{16-\pi^2} - 3\pi^2}

y = R \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{16-\pi^2}}{4} \right)

x = \frac{L}{2}\sqrt{\frac{4\sqrt{16-\pi^2}}{\pi} - 3}

y = L \left( 1 - \frac{\sqrt{16-\pi^2}}{2\pi} \right)

Facendo un po’ di calcoli con la calcolatrice otteniamo:

x \approx 0.19525 \, L

y \approx 0.60594 \, L

x \approx 0.30670 \, R

y \approx 0.95181 \, R

Per qualsiasi $\epsilon$ si ottiene, per come abbiamo costruito x e y:

x^2+y^2=R^2

I calcoli lo confermano anche se non li riporto.

Approssimiamo

Partiamo da un quadrato di lato noto e proviamo a costruire il cerchio con la lunghezza della circonferenza approssimativamente uguale al perimetro del quadrato; come ho detto è una cerchificazione del quadrato.

Immaginiamo di avere il quadrato. Individuiamo il punto medio del lato superiore e inferiore, tracciamo la retta che li unisce, su questa retta giace il centro del cerchio che cerchiamo.

Misuriamo $x_1, y_1$ che approssimano i veri valori e riportiamoli sul lato superiore e sulla retta con le formule ottenute prima, le costanti c sono approssimazioni delle vere costanti.

x_1=c_x L \qquad y_1=c_yL

Abbiamo individuato il centro ed anche il raggio che approssimativamente vale:

R_1^2=x_1^2+y_1^2=(c_x^2+c_y^2)L^2

Vediamo che errore abbiamo commesso.

Estraiamo la radice da entrambe le parti, dividiamo per 4L che è il perimetro del quadrato e moltiplichiamo per 2$\pi$ che ci fornisce la lunghezza della circonferenza:

\frac{C_1}{P}=\frac{2\pi R_1}{4L}=2\pi\frac{\sqrt{c_x^2+c_y^2}L}{4L}=\pi\frac{\sqrt{c_x^2+c_y^2}}{2}

Per esempio, prendiamo i valori approssimati a due cifre decimali dai calcoli eseguiti più sopra:

c_x=0.20 \quad c_y=0.61

Otteniamo:

\frac{C_1}{P}=1.0084

Non male, proviamo ad approssimare con un solo decimale in modo da rendere ancora più facile costruire la figura geometrica:

c_x=0.2 \quad c_y=0.6

Questa volta otteniamo:

\frac{C_1}{P}=0.9935

Anche questa approssimazione non è male. Mentre la prima fornisce una circonferenza leggermente più grande la seconda ne fornisce una leggermente più piccola.

Facciamo un esempio numerico. Prendiamo un quadrato di lato 1000mm (1 metro), otteniamo un raggio:

R_1=\sqrt{c_x^2+c_y^2}L=0.6420 \cdot 1000mm=642.0 mm

R_1=\sqrt{c_x^2+c_y^2}L=0.6325 \cdot 1000mm=632.5 mm

Il primo raggio è calcolato con i parametri a due cifre decimali, il secondo con una sola cifra decimale, la differenza è di circa 9.5mm. Vediamo l’impatto sulla circonferenza:

C_1=1.0084 \cdot 4000mm=4033.6mm

C_1=0.9935 \cdot 4000mm=3973.8mm

Chiaramente il perimetro del quadrato è 4000mm, la circonferenza ottenuta con i parametri con due decimali differisce di 33.6mm in eccesso mentre la circonferenza ottenuta con i parametri con un solo decimale differisce di 26.2mm in difetto.

Sorprendentemente i parametri con una sola cifra decimale forniscono una circonferenza con minore errore assoluto.

Concludendo

Siamo partiti da un problema geometrico sui social, lo abbiamo generalizzato e poi ci siamo messi a calcolare un mucchio di formule per mettere in relazione il quadrato ed il cerchio. Infine abbiamo imposto che il perimetro del quadrato fosse uguale alla lunghezza della circonferenza per quadrare il cerchio. Abbiamo specializzato le formule e trovato delle espressioni numeriche approssimate. Infine abbiamo riprovato a stimare il rapporto tra la circonferenza approssimata e il quadrato ottenendo un buon rapporto molto vicino ad 1 per difetto e per eccesso a seconda della precisione dei parametri utilizzati. Infine un esempio su un quadrato di lato noto pari a 1 metro ci ha fornito un’idea degli errori assoluti che risultano di 3cm in eccesso e 2cm in difetto e sorprendentemente il valore minore si ottiene con i parametri con una sola cifra decimale.

Ha fatto una marea di calcoli e mi sono fatto aiutare dall’IA per verificarli e li ho sbagliati per ben tre volte. Senza IA avrei speso un sacco di tempo per scrivere il post oppure ne avrei speso pochissimo trovando un modo alternativo che nemmeno l’IA conosce. Non lo saprò mai.

State attenti all’IA vi atrofizza il cervello ma… meno che i social.

Bibliografia

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