La Norma, gli Spazi di Banach e di Hilbert

Cosa sono gli spazi di Banach e che differenza c’è con quelli di Hilbert ? Che relazione c’è tra una norma ed un prodotto scalare ? Cosa hanno a che fare un parallelogrammo, una norma ed un prodotto scalare, forse il teorema di Von Neumann ?

La norma

Prendiamo uno spazio vettoriale, finito o infinito dimensionale non fa differenza. Per sapere che cos’è uno spazio vettoriale o lineare si può guardare qui.

La struttura di spazio vettoriale è una struttura algebrica se non si mette altro. L’idea è di aggiungere una misura di una caratteristica tipica di un vettore e cioè la sua lunghezza o meglio intensità o anche modulo.

Abbiamo bisogno di una funzione e la vogliamo che ad un vettore associ un valore reale positivo:

f: V \to \R^+ \newline
\lVert \bold v \rVert: V \to \R^+

nella seconda riga ho messo la notazione standard della funzione che viene chiamata norma e richiama la notazione del modulo che si incontra a scuola e a volte si chiama valore assoluto. La parola norma di per sé ha carattere giuridico e significa regola, non mi è chiaro perché si usi in questo contesto, sicuramente non c’entra con la pasta alla Norma…

Dobbiamo mettere qualche proprietà. Abbiamo un paio di cose da considerare, la prima è ciò che intendiamo per intensità di un vettore, la seconda è la relazione della norma con le operazioni algebriche cioè le strutture presenti nello spazio.

Se moltiplichiamo il vettore per uno scalare intuitivamente ci aspettiamo che l’intensità venga moltiplicata della stessa quantità. Attenzione però, se lo scalare è un reale negativo ci aspettiamo che il vettore cambi di verso mentre l’intensità venga moltiplicata per il modulo dello scalare. Se poi lo scalare è un numero complesso ricordiamoci che è sempre scrivibile come il prodotto del modulo e un’esponenziale cioè una rotazione complessa. Insomma vogliamo una proprietà di omogeneità:

\lVert \alpha \bold v \rVert =\lvert\alpha\rvert\lVert\bold v \rVert

Da questa possiamo subito stabilite il valore della norma del vettore nullo mettendo lo scalare a zero:

\lVert 0 \bold v \rVert =\lvert0\rvert\lVert\bold v \rVert \newline
\lVert  \bold 0 \rVert =0 \newline

La prima riga è la proprietà omogenea per lo scalare nullo ed un vettore qualsiasi, la seconda riga è il calcolo del membro di sinistra e di destra che devono essere uguali. Un vettore per lo scalare nullo è il vettore nullo mentre il prodotto di scalari di cui uno nullo è per forza nullo.

Per quanto riguarda la somma di vettori invece possiamo aspettarci una relazione del genere detta triangolare:

\lVert \bold u + \bold v \rVert \le \lVert \bold u \rVert + \lVert \bold v \rVert

Da questa condizione che deve valere per ogni vettore in particolare possiamo dirla valida per ogni vettore ed il suo opposto e quindi:

\lVert \bold u - \bold u \rVert \le \lVert \bold u \rVert + \lVert \bold u \rVert \newline
\lVert \bold 0 \rVert \le 2\lVert \bold u \rVert \newline
\lVert \bold 0 \rVert \le \lVert \bold u \rVert

Dall’ultima riga applicando l’omogeneità sappiamo che la norma del vettore nullo è zero e quindi che la norma è per tutti i vettori maggiore di zero o al meno nulla. Quindi omogeneità e triangolare insieme impongono che la norma sia positiva.

Manca una cosa, se la norma è zero il vettore è anche il vettore nullo ? Possono esistere vettori con norma nulla ? Per come voglio definire intuitivamente la norma direi di no, solo il vettore nullo ha norma zero ma l’esperienza dice che alcuni spazi possono avere seminorme per cui alcuni vettori hanno norma zero. Comunque possiamo definire norma la funzione:

\lVert \bold v \rVert: V \to \R \newline
\lVert \alpha \bold v \rVert =\lvert\alpha\rvert\lVert\bold v \rVert \newline
\lVert \bold u + \bold v \rVert \le \lVert \bold u \rVert + \lVert \bold v \rVert \newline
\lVert \bold v \rVert =0 \quad \iff \quad \bold v = \bold 0

notate che ho aggiunto la condizione di nullità solo se anche il vettore è il vettore nullo e rimosso la condizione di positività che si ricava dalle altre proprietà.

Gli spazi di Banach

Uno spazio con una struttura algebrica vettoriale, detto anche spazio lineare, con una norma si chiama spazio di Banach o quasi.

Vabbè, non mi sembra una grande conquista matematica. In effetti bisogna accorgersi di un’altra cosa per rendere tutto interessante. Consideriamo la seguente funzione indotta dalla norma:

d(\bold u, \bold v ):=\lVert \bold u - \bold v \rVert

bene, tale funzione è una distanza nel senso degli spazi metrici che abbiamo visto anche qui.

Le proprietà richieste alla funzione distanza sono facilmente verificabili: la funzione è a valori positivi perché lo è anche la norma, la distanza è nulla solo se la norma è nulla e quindi solo se la differenza dei vettori è il vettore nullo e quindi solo se i vettori sono uguali:

d(\bold u, \bold v ):=\lVert \bold u - \bold v \rVert=0 \newline
\bold u - \bold v = \bold 0 \newline
\bold u = \bold v

la distanza è simmetrica, bisogna usare l’omogeneità:

d(\bold u, \bold v ):=\lVert \bold u - \bold v \rVert= \newline
\lVert -( \bold u - \bold v) \rVert=\lvert-1 \rvert \lVert  \bold u - \bold v \rVert= \newline
\lVert  \bold u - \bold v \rVert=d(\bold v, \bold u )

Infine la distanza soddisfa la proprietà triangolare perché anche la norma soddisfa l’altra proprietà triangolare:

d(\bold u , \bold v)=\lVert \bold u - \bold v \rVert =\newline
\lVert \bold u -\bold z + \bold z- \bold v \rVert \le \lVert \bold u - \bold z\rVert + \lVert \bold z - \bold v\rVert \newline
=d(\bold u , \bold z)+d(\bold z , \bold v)

Allora lo spazio di Banach è anche uno spazio metrico. Bello! Posso pensare a successioni di vettori convergenti o meno, intorni di un vettore ed insiemi compatti oltre a funzioni continue ed altre belle cose.

In realtà manca un’altra cosa, essenziale per gli spazi metrici e cioè la completezza altrimenti possiamo avere successioni di Cauchy ma che non convergono ad un limite perché il vettore limite non fa parte dello spazio.

Ecco, uno spazio di Banach è uno spazio vettoriale con una norma e completo; questo elimina il quasi di inizio capitolo.

Gli spazi di Hilbert

Lo spazio di Hilbert è un particolare spazio di Banach. Gli spazi di Hilbert nascono come generalizzazione degli spazi euclidei, gli spazi vettoriali finito dimensionali. Qui però non mettiamo limiti alla dimensione il che non rende particolare lo spazio di Hilbert rispetto allo spazio di Banach che non ha problemi ad avere infinite dimensioni anch’esso. La particolarità è nella presenza del prodotto scalare.

Il prodotto scalare lo abbiamo affrontato in un altro post. Ad uno spazio vettoriale possiamo associare un prodotto scalare, ce ne sono un infinità ma se ne sceglie uno e si dice che quello è il prodotto scalare di quello spazio vettoriale.

La cosa interessante è che possiamo definire una norma indotta dal prodotto scalare in questo modo:

\lVert \bold v \rVert:=\sqrt{(\bold v, \bold v )}

La definizione non salta giù dal pero, basta rileggere il post sul prodotto scalare per come è costruito e pensato per capire che l’espressione rappresenta la lunghezza geometrica del vettore.

Dobbiamo dimostrare che l’espressione è effettivamente una norma. L’omogeneità è facile da dimostrare, basta la sesquilinearità:

\lVert a\bold v \rVert:=\sqrt{(a\bold v, a\bold v )}=\sqrt{a\overline{a}(\bold v, \bold v )}= \newline
\lvert a\rvert\sqrt{(\bold v, \bold v )}=\lvert a\rvert \lVert \bold v \rVert

La triangolare non è immediata: serve la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.

Ecco la disuguaglianza in quesitone:

\lvert (\bold u, \bold v)\rvert \le \lVert \bold u \rVert \lVert \bold v \rVert 

La dimostrazione è un po’ particolare e si basa sull’idea che non può essere diversamente. Consideriamo un numero complesso lambda arbitrario e scriviamo la norma di una somma di vettori:

\lVert \bold u + \lambda \bold v \rVert \ge 0

che sia positivo è una proprietà del prodotto scalare infatti abbiamo la proprietà di omogeneità ma non la triangolare quindi dobbiamo prendere la positività direttamente dalla definizione di prodotto scalare. Ora usiamo la proprietà sesquilineare del prodotto scalare:

\lVert \bold u + \lambda \bold v \rVert^2=(\bold u + \lambda \bold v, \bold u + \lambda \bold v)= \newline
(\bold u,\bold u)+\lambda(\bold u, \bold v)+\overline{\lambda}(\bold u, \bold v)+\lambda\overline{\lambda}(\bold v,\bold v)

il secondo membro è positivo perché è il quadrato di una norma positiva e lo è per tutti i vettori e per tutti i valori di lambda anche complessi. Possiamo scegliere il seguente valore di lambda che in generale è un numero complesso, è importante l’ordine dei vettori nel prodotto scalare e il denominatore:

\lambda_0=- \frac{(\bold v,\bold u)}{(\bold v,\bold v)}

che sostituito nella disuguaglianza precedente fornisce:

\lVert \bold u + \lambda_0 \bold v \rVert^2=(\bold u, \bold u)-\frac{\lvert(\bold u,\bold v)\rvert^2}{(\bold v,\bold v)}\ge 0

Da questa segue la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.

Qualcuno potrebbe rimanere offeso dalla scelta di lambda, da dove salta fuori ? Come l’hanno indovinato che questo valore funziona ? Non è un mistero, basta derivare rispetto a lambda e rispetto al coniugato di lambda ed imporre il tutto a zero, salta fuori quel valore ma, alla fine non è importante, basta che funzioni.

La disuguaglianza è fondamentale per definire l’angolo tra due vettori:

\cos(\alpha)^2=\frac{\lvert(\bold u,\bold v)\rvert^2}{\lVert \bold u \rVert^2\lVert \bold v \rVert^2}

tramite la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz possiamo dire tranquillamente che è ben definito il coseno in quanto la radice del rapporto di destra è tra -1 e 1.

Adesso possiamo mostrare che vale la triangolare:

\lVert \bold u + \bold v \rVert^2=(\bold u + \bold v, \bold u + \bold v)= \newline
(\bold u,\bold u)+(\bold u, \bold v)+(\bold v, \bold u)+(\bold v,\bold v) = \newline
\lVert \bold u  \rVert^2+2Re(\bold u, \bold v) +\lVert \bold v \rVert^2 \le \newline
\lVert \bold u  \rVert^2+2\lvert(\bold u, \bold v)\rvert +\lVert \bold v \rVert^2 \le \newline
\lVert \bold u  \rVert^2+2\lVert\bold u\rVert\lVert \bold v\rVert +\lVert \bold v \rVert^2 = \newline
(\lVert \bold u  \rVert+\lVert \bold v \rVert)^2 

Nella prima riga abbiamo la norma ed utilizziamo la definizione tramite il prodotto scalare per ottenere la seconda riga e la terza. Poi maggioriamo il termine della parte reale con il modulo del numero complesso nella quarta riga ed, infine, utilizziamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz per ottenere la quinta riga e quindi il quadrato. La proprietà triangolare si ottiene confrontando il primo elemento della catena di uguaglianze e disuguaglianze e l’ultimo termine. Sì, il quadrato si toglie ma questo è facile e lo potete fare voi.

Concludendo, la norma indotta dal prodotto scalare è effettivamente una norma ma, che fatica dimostrarlo.

La legge del parallelogramma

Qual’è la differenza tra spazi di Banach e spazi di Hilbert ? Le proprietà della norma sono le stesse quindi potrebbe non esserci alcuna differenza. Il punto è che la norma di Hilbert è indotta da un prodotto scalare mentre quella di Banach è definita a priori. Possiamo sapere se una norma è sempre generata da un prodotto scalare ? Per questo basta un controesempio ma quale proprietà viene meno ? Insomma manca una caratterizzazione delle norme generate da un prodotto scalare e quelle che non lo sono.

Possiamo avere un piccolo indizio, con il prodotto scalare posso anche definire l’angolo tra vettori che poi è un modo diverso di dire che la norma è generata da un prodotto scalare. Ma se posso definire un angolo forse con una norma di Banach posso avere delle difficoltà.

La soluzione al problema è stata data da John von Neumann (ungherese ma naturalizzato statunitense) che capì che norme e angoli venivano ben catturate insieme nel parallelogramma. Possiamo vedere la seguente figura geometrica:

A sinistra abbiamo un parallelogramma, i lati del quadrilatero sono paralleli; nella figura tracciata manualmente se notate abbiamo il famoso parallelismo convergente di democrazia cristiana memoria; bisogna avere una certa età per capire la battuta.

A destra lo stesso parallelogramma costruito con i vettori, le diagonali sono la somma e la differenza tra i vettori.

Dalla figura a sinistra con un po’ di geometria ed utilizzando il teorema del coseno otteniamo:

d^2=a^2+b^2-2ab\cos(\alpha) \newline
D^2=a^2+b^2 -2ab\cos(\beta) \newline
\beta=\pi - \alpha \newline
 \cos(\beta)=\cos(\pi - \alpha)=-\cos(\alpha) \newline
D^2=a^2+b^2 +2ab\cos(\alpha) \newline

sommando la prima e l’ultima otteniamo l’identità del parallelogramma:

D^2 +d^2=2(a^2+b^2)

ora, con l’ausilio della figura a destra con i vettori si dovrebbe ricavare la seguente identità con le norme:

2\lVert \bold u\rVert^{2}+2\lVert \bold v\rVert^{2}=\lVert  \bold  u+  \bold  v\rVert^{2}+\lVert \bold  u- \bold  v\rVert^{2}    

In effetti per una norma indotta da in prodotto scalare la cosa è vera ma in generale non vale per tutte le norme.

Partiamo dal membro di destra:

\lVert  \bold  u+  \bold  v\rVert^{2}+\lVert \bold  u- \bold  v\rVert^{2}=(\bold u + \bold v, \bold u + \bold v)+(\bold u - \bold v, \bold u - \bold v)= \newline
(\bold u,\bold u)+(\bold u, \bold v)+(\bold v, \bold u)+(\bold v,\bold v) +(\bold u,\bold u)+(\bold u, -\bold v)+(-\bold v, \bold u)+(-\bold v,-\bold v) = \newline
2\lVert \bold u\rVert^{2}+2\lVert \bold v\rVert^{2}

tenendo conto della linearità e dei segni si ottiene il membro di sinistra dell’identità del parallelogramma.

Il teorema di Von Neumann

L’identità del parallelogramma vale per le norme indotte da un prodotto scalare. Ma cosa succede per le norme, diciamo di Banach, non indotte da un prodotto scalare ?

È necessario trovare un’espressione per il prodotto scalare espresso in termini della norma e poi partendo dall’espressione cercare di dimostrare che è un prodotto scalare. Si parte sempre dal teorema del coseno e si scrivono le due equazioni di prima ma, invece di sommarle ed eliminare il termine con il coseno, si sottraggono:

\lVert  \bold  u+  \bold  v\rVert^{2}=(\bold u + \bold v, \bold u + \bold v)= \newline
\lVert \bold u\rVert^{2}+(\bold u, \bold v)+(\bold v, \bold u) +\lVert \bold  v\rVert^{2} \newline
\lVert \bold  u- \bold  v\rVert^{2}=(\bold u - \bold v, \bold u - \bold v)= \newline
\lVert \bold u\rVert^{2}-(\bold u, \bold v)-(\bold v, \bold u) +\lVert \bold  v\rVert^{2} \newline
\frac{1}{4}\lbrack \lVert  \bold  u+  \bold  v\rVert^{2}-\lVert \bold  u- \bold  v\rVert^{2}\rbrack=Re(\bold u, \bold v)

Si ottiene così un’espressione della parte reale del prodotto scalare e se il prodotto scalare è reale è tutto ciò che serve ma in generale bisogna anche ricavare un’espressione per la parte immaginaria.

Facendo il calcolo simile al precedente si ottiene:

\frac{1}{4}\lbrack \lVert  \bold  u+  i\bold  v\rVert^{2}-\lVert \bold  u- i\bold  v\rVert^{2}\rbrack=Im(\bold u, \bold v)

Infine, mettendo insieme la parte reale con quella immaginaria, moltiplicata per l’unità immaginaria i:

(\bold u, \bold v)=\frac {1}{4}\left(\lVert  \bold  u+  \bold  v\rVert^{2}-\lVert \bold  u- \bold  v\rVert^{2}+ i\lVert  \bold  u+  i\bold  v\rVert^{2}-i\lVert \bold  u- i\bold  v\rVert^{2}\right)

Le due espressioni del prodotto scalare in funzione della norma sono note come forme polari o identità polari.

Dunque; se parto dal prodotto scalare posso dimostrare che vale l’identità del parallelogramma. Se parto da una norma di Banach, cioè non generata da un prodotto scalare, posso costruire una funzione attraverso la forma polare che non è detto che sia un vero prodotto scalare; mettiamola alla prova.

Calcolando la forma polare di un vettore con sé stesso si ottiene il quadrato della norma ed è anche facile verificare che vale la simmetria; la simmetria coniugata nel caso complesso. Quindi queste due proprietà vengono gratis.

(\bold u, \bold u)=\frac {1}{4}\left(\lVert  \bold  u+  \bold  u\rVert^{2}-\lVert \bold  u- \bold  u\rVert^{2}+ i\lVert  \bold  u+  i\bold  u\rVert^{2}-i\lVert \bold  u- i\bold  u\rVert^{2}\right)= \newline
=\frac {1}{4}\left(4\lVert  \bold  u\rVert^{2}-\lVert \bold  0\rVert^{2}+ i\lvert 1+i\rvert^2\lVert  \bold  u \rVert^{2}-i\lvert 1-i \rvert^2\lVert \bold  u\rVert^{2}\right) \newline
=\frac {\lVert  \bold  u\rVert^{2}}{4}\left(4+ i(\lvert 1+i\rvert^2-\lvert 1-i \rvert^2)\right)=\lVert  \bold  u\rVert^{2} \newline
(\bold u, \bold v)=\frac {1}{4}\left(\lVert  \bold  v+  \bold  u\rVert^{2}-\lVert \bold  v- \bold  u\rVert^{2}+ i\lVert  \bold  v-  i\bold  u\rVert^{2}-i\lVert \bold  v+ i\bold  u\rVert^{2}\right)=\overline{(\bold v, \bold u)}

nella seconda proprietà non basta scambiare u con v, bisogna raccogliere i ed usare l’omogeneità, inoltre si deve cambiare di segno la parte immaginaria per verificare la simmetria coniugata.

La parte difficile è dimostrare la sesquilinearità ed ancora di più la omogeneità.

Per la sesquilinearità bisogna valutare la differenza tra le espressioni da linearizzare e linearizzate e sperare che faccia zero:

(\bold u+\bold w, \bold v)-\lbrack (\bold u, \bold v)+(\bold w, \bold v)\rbrack

Sostituendo la forma polare non si ottiene il risultato voluto, è necessario utilizzare l’identità del parallelogramma per ottenere zero. I libri mostrano tutti i passaggi che richiedono di utilizzare l’identità del parallelogramma anche un paio di volte. Sono solo calcoli e non voglio perderci troppo tempo.

Per l’omogeneità serve la sesquilinearità e la continuità della forma polare, cosa di cui non abbiamo parlato, come si vede va un po’ fuori dal contesto ma a noi basta aver fatto vedere che per la linearità serve l’identità del parallelogramma.

Il teorema di von Neumann afferma che una norma è generata da un prodotto scalare solo se vale l’identità del parallelogramma.

Bene, ma esistono norme non generate dal prodotto scalare?

Una piccola osservazione, se proviamo a indebolire l’identità con una disuguaglianza:

2\lVert \bold u\rVert^{2}+2\lVert \bold  v\rVert^{2}\leq \lVert \bold  u+\bold  v\rVert^{2}+\lVert \bold  u- \bold v\rVert^{2}  \newline
\bold  u \to{ {\frac {1}{2}}\left(\bold x+\bold  y\right)} \qquad \bold v \to { {\frac {1}{2}}\left(\bold x-\bold y\right)} \newline
\lVert \bold x+\bold y\rVert^{2}+\lVert \bold x-\bold y\rVert^{2}\leq 2\lVert \bold x\rVert^{2}+2\lVert \bold y\rVert^{2} \newline 

valendo per tutti i vettori possiamo fare la sostituzione della seconda riga ed ottenere la disuguaglianza opposta che a sua volta vale per tutti i vettori e quindi anche per u e v: segue quindi l’uguaglianza.

Allora come si fa a dimostrare che una specifica norma non è di Hilbert ma di Banach ?

Una via potrebbe essere che l’identità del parallelogramma non valga per tutti i vettori ma servono esempi specifici. Altrimenti servono altri metodi non banali che comunque qui non vado ad investigare. Comunque, tanto per togliersi il dubbio, gli spazi Lp con p diverso da 2 sono spazi di Banach e non di Hilbert.

Concludendo

Siamo partiti dall’idea di lunghezza o intensità di un vettore. Abbiamo ottenuto la definizione di norma. Poi abbiamo visto che la norma permette di definire una metrica nello spazio vettoriale e quindi tutte quelle belle cose topologiche come insieme aperto e convergenza. Uno spazio vettoriale con una topologia indotta dalla norma prende il nome di spazio di Banach. Poi abbiamo preso uno spazio con prodotto scalare, anche in questo spazio è possibile definire una norma. e quindi una topologia, anche questo spazio vettoriale ha un nome, spazio di Hilbert. La cosa interessante è che non tutte le norme si possono generare con un prodotto scalare, questo lo si dimostra con il teorema di von Neumann che riesce a caratterizzare le norme generate da un prodotto scalare mediante l’identità del parallelogramma.

Le dimostrazioni non sono così ovvie e nemmeno richiedono strumenti particolarmente complessi, si tratta di algebra con i numeri complessi ma, passano attraverso invenzioni e trucchi algebrici che richiedono una buona dose inventiva.

Spero che questo post vi renda serafici e curiosi di leggere il vocabolario.Ciaoooo!

Bibliografia

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