La matematica del nonio

La matematica del nonio è semplice ma nasconde una corrispondenza biunivoca non evidente.

Il nonio questo sconosciuto

Scommetto che a molti il nonio è sconosciuto. Eppure è decisamente antico ed in uso ancora oggi.

Il nonio è un dispositivo, uno strumento, un aggeggio insomma, che serve per agevolare la lettura di una scala con precisione maggiore di quella mostrata e per questo si basa su un trucco matematico.

Il nonio io l’ho visto ed utilizzato su strumenti quali il calibro ed il goniometro, il principio è lo stesso.

L’idea originale viene attribuita al portoghese Pedro Nunes (1502 – 1578) che di mestiere era geografo, cartografo, cosmografo ed anche matematico. Nunes, da cui nonio, inventò uno strumento per la misura di piccoli angoli ma successivamente il matematico francese Pierre Vernier (1580 – 1637) utilizzò l’idea anche per la misura di piccole distanze che lo portò alla creazione di un altro strumento detto verniero che è l’antenato dell’odierno calibro.

Oggi il termine nonio non indica uno strumento di misura ma il dispositivo per stimare la misura sulla scala dello strumento.

Che faccia ha il nonio?

Se prendiamo una scala graduata come quella di un righello il nonio è una seconda scala graduata affiancata, tutto qui. Vediamo l’immagine:

Nell’immagine, sopra c’è la scala graduata mentre sotto la scala secondaria del nonio.

Come esempio la scala graduata è un semplice righello con tacche per i centimetri e tacche più piccole per indicare i millimetri. La scala del nonio ha 10 tacche ma la distanza tra di esse è leggermente inferiore al millimetro: questo è il punto geniale.

Quando eseguiamo una misura di distanza sappiamo dove posizionare lo 0 del righello ma non sappiamo dove andrà a cadere il punto da misurare, in generale cadrà tra una tacca e l’altra della scala millimetrica e potremmo stimare ad occhio se cade nella prima metà del millimetro o nella seconda metà.

Il nonio permette di essere più precisi, permette di vedere l’intervallo di un millimetro suddiviso in 10 parti (anche 20, 50 o 100 dipende dal nonio) e di indicare esattamente in quale decimo di millimetro cade il punto di misura.

Ma non è una forzatura? Insomma se il righello ha la sensibilità di 1 mm vuol dire che non ha senso cercare una precisione maggiore altrimenti il righello avrebbe ulteriori tacche… o no? La risposta è no ma richiede un’informazione in più.

Come costruisco una scala?

Mettetevi nell’idea di voler costruire un righello con una tacca ogni millimetro. Avete il vostro righello senza tacche e volete scriverle sulla sua superficie: per farlo avete bisogno di uno strumento con precisione superiore! Dovete infatti poter posizionare le tacche con precisione di almeno 1/100 di millimetro o anche 1/1000 di millimetro. Idealmente con una precisione di 1/100 di millimetro su una scala di 100 millimetri (10 cm) potreste cumulare un errore massimo di 1 mm mentre con 1000 mm (1 m) l’errore potrebbe arrivare ad 1 cm e potrebbe essere inaccettabile; serve una precisione di 1/1000 per rimanere sotto al millimetro. In realtà gli errori sono un po’ in eccesso ed un po’ in difetto, quello indicato è il valore massimo.

Quindi se la scala ha intervalli di 1 mm è chiaro che le due stanghette sono distanziate esattamente di 10 decimi di millimetro che aumentano la precisione dello strumento ma che non sono visibili sulla scala perché disegnarle richiede una precisione maggiore e perché se disegnate sarebbero difficilmente distinguibili per via della larghezza della tacca.

Ecco quindi che ha senso cercare una misura più precisa di quella indicata dalla scala. Ma come fa il nonio a distinguere i decimi di millimetro o anche meno?

A questo punto dovreste provare voi stessi ad inventarvi il nonio anche se non sapete cos`è … se lo sapete non vale.

La scala del nonio

Distinguiamo le due scale con due nomi diversi, scala principale e scala del nonio e non se ne parla più. Sulla scala principale la distanza minima tra due stanghette la indichiamo con s, nell’esempio del righello si tratta di 1 mm. Vogliamo apprezzare una frazione di questa distanza che indichiamo con 1/n dove n è un numero naturale ad esempio 10, 20, 50, 100.

La scala del nonio invece la dividiamo in n+1 tacche, quindi n spazi, numerate da 0 ad n, quindi da 0 a 10 o da 0 a 20 e così via, la spaziatura della scala del nonio è però inferiore e pari a s’ possiamo quindi scrivere:

s':=\frac{n-1}{n}s

quindi è più piccola di 1/n della separazione s delle tacche della scala principale.

Ora facciamo una misura e vediamo cosa succede. Abbiamo due casi: il puntatore cioè lo 0 del nonio cade esattamente su una tacca della scala principale, Il nonio non serve e finisce lì; Il puntatore finisce tra due tacche ed il nonio entra in azione. Il puntatore, cioè lo zero della scala del nonio, sta puntando un punto intermedio tra due tacche, se immaginiamo che lo spazio sia suddiviso in ulteriori tacche allora indicherebbe la tacca k e quindi si trova nella posizione k/n.

Dove si trovano le altre tacche del nonio? La tacca 1 si trova in posizione k/n + s’ e così via, vale la pena elencarle:

\begin{array}{cc}
  0 & \frac{k}{n}s \\
  1 & \frac{k}{n}s + \frac{n-1}{n}s \\
  2 & \frac{k}{n}s + 2\frac{n-1}{n}s \\
  \dots & \dots \\
  n & \frac{k}{n}s + n\frac{n-1}{n}s
\end{array}

Dove si trovano le tacche della scala principale? Il puntatore si trova in posizione k/n quindi la tacca maggiore si trova in posizione (n-k)/n e per le successive bisogna aggiungere s, facciamo anche qui un elenco:

\begin{array}{cc}
  t_1 & \frac{n-k}{n}s \\
  t_2 & \frac{n-k}{n}s + s \\
  t_3& \frac{n-k}{n}s + 2s \\
  \dots & \dots \\
  t_l & \frac{n-k}{n}s + ls
\end{array}

Ora il ragionamento è il seguente. Facciamo una corsa sulla scala del nonio e sulla scala principale. La scala del nonio parte in vantaggio dal k-esimo decimale, a cui viene aggiunta una quantità s’ per m volte. La scala principale parte in svantaggio ma fa un passo s che è maggiore di quello del nonio di 1/n. Dopo m intervalli sul nonio la distanza percorsa è minore di m/n e deve coincidere con una tacca della scala principale diciamo la tacca l. Scriviamo l’equazione di queste quantità e chiamiamola equazione del nonio:

\frac{k}{n}s+m\frac{n-1}{n}s=ls

Al primo membro la distanza percorsa sulla scala del nonio, al secondo membro la distanza percorsa sulla scala principale. Si noti subito che l’intervallo s si semplifica, non importa se si tratta di millimetri o frazioni di pollici o gradi sessagesimali o gradi centesimali o quant’altro come ci si aspetta. Possiamo fare alcuni passaggi algebrici elementari:

\frac{k}{n}+m\frac{n-1}{n}=l \newline
\frac{k}{n}+m -\frac{m}{n}=l \newline
\frac{k-m}{n}=l-m 

Notiamo che al primo membro è presente una frazione mentre al secondo membro un intero. Sia k che m valgono al più n essendo che k rappresenta uno degli n-esimi sotto intervalli di s mentre m rappresenta uno degli intervalli del nonio che arriva a fondo scala ad n. Quindi il numeratore della frazione è sicuramente minore di n. L’unica possibilità è quindi che il numeratore sia nullo e di conseguenza anche il secondo membro deve essere nullo:

k-m=0 \newline
l-m=0 \newline
k=m, \quad m=l, \quad k=m=l 

Quindi tutti gli interi devono essere uguali per soddisfare l’equazione e quindi è sempre possibile trovare una tacca della scala principale che coincide con una tacca della scala del nonio e questo avviene sulla tacca k della scala del nonio. Bello! Perché allora posso leggere sulla scala del nonio la posizione k del puntatore che si era fermato proprio nella posizione k tra due tacche.

Analizzando meglio la soluzione possiamo affermare che m=l significa che esistono due tacche che coincidono mentre k=m significa che la tacca che coincide è la k-esima del nonio.

In pratica

La scala del nonio è come un’ingrandimento dell’intervallo tra due tacche della scala principale. La scala del nonio è ben visibile e quindi permette di vedere con precisione dove cade il puntatore del nonio.

Facciamo un esempio. Supponiamo di usare un righello diviso in millimetri. Il nonio possiamo pensarlo per misurare i decimi di millimetro quindi n=10. Il nonio avrà quindi una scala da 0 a 10 intervallata con tacche da 9/10 di millimetro.

Eseguendo una misura con il righello ci ritroveremo con il puntatore del nonio, lo 0, alla posizione 3,8 cm e qualche decimo che dobbiamo stimare. Leggendo la scala del nonio troviamo una tacca che coincide con la tacca della scala principale in posizione 7 quindi possiamo dire che la misura è 3,87 cm.

Si noti che se la suddivisione fosse per n=20 allora il risultato sarebbe differente. Nel primo caso sommiamo 7/10 di millimetro alla misura principale, nel secondo caso dobbiamo sommare 7/20 di millimetro alla misura principale:

3,8 cm + \frac{7}{10} mm = 38 mm + 0.7 mm = 38,7 mm = 3,87 cm \newline
3,8 cm + \frac{7}{20} mm = 38 mm + 0,35 mm = 38,35 mm = 3,835 cm 

E così via per scale in 50-esimi o 100-esimi.

Ingrandiamo ma non troppo

Potremmo pensare di costruire noni con valori di n molto grandi. Vi ricordo che se la scala principale è stata costruita con una certa precisione nel posizionamento delle tacche non è possibile andare oltre quella precisione.

La scala del nonio ha comunque dei limiti di lettura, possiamo farla un po’ più grande?

La risposta è sì. Prima di continuare poniamoci la domanda: come posso fare?

In pratica vorrei che s’ fosse più grande per vederlo meglio ma dovrebbe sempre differire di 1/n della scala principale. Come devo scegliere questo s’ ?

L’idea è di prendere un valore che sia doppio a meno di 1/n:

s':=(2-\frac{1}{n})s=\frac{2n-1}{n}s

L’equazione del nonio diventa:

\frac{k}{n}s+m\frac{2n-1}{n}s=ls

ancora una volta possiamo eliminare s e con qualche calcolo scrivere:

\frac{k}{n}+m\frac{2n-1}{n}=l \newline
\frac{k}{n}+2m -\frac{m}{n}=l \newline
\frac{k-m}{n}=l-2m \newline

possiamo applicare lo stesso ragionamento di prima, al primo membro c’è una frazione minore di 1 mentre al secondo membro un intero quindi il primo membro deve essere nullo e così anche il secondo di conseguenza:

k-m=0 \newline
l-2m=0 \newline
k=m, \quad 2m=l, \quad 2k=l

Come prima il nonio avrà la tacca k-esima data dalla prima equazione in corrispondenza di una tacca della scala principale ma sarà la tacca 2k.

Matematicamente

Ma matematicamente parlando che cosa abbiamo fatto?

Ad ogni frazione tra due tacche della scala principale abbiamo fatto corrispondere tramite il nonio una tacca successiva sulla scala principale. La corrispondenza è biunivoca ed è basata sull’equazione del nonio:

\frac{k}{n}s+m\frac{jn-1}{n}s=ls

dove abbiamo messo j al posto di 1 o 2 per generalizzare un po’.

Il membro di destra rappresenta il punto sulla scala principale, se mettiamo y al suo posto e x al posto di ms otteniamo la funzione:

\frac{k}{n}s+x\frac{jn-1}{n}=y

Questa funzione è una retta che associa ad ogni punto x sul nonio un punto y sulla scala principale.

La corrispondenza tra tacche si ottiene in corrispondenza di:

x=ks \newline
y=jks

come è facile verificare sostituendo i valori nella funzione.

Per ogni k esiste una retta determinata dal termine noto e quindi una corrispondenza biunivoca.

Le frazioni da stimare rappresentano i termini noti della rette mentre il nonio rappresenta il coefficiente angolare delle rette.

Come vedete non è evidente. (questa segnatevela che fa ridere).

Concludendo

Il nonio magari non è un argomento eccitante ma comunque resta un’idea geniale ed è per questo che ho voluto scriverne. Pedro Nunes a Pierre Vernier sono stati veramente bravi.

L’idea di base è di ingrandire la scala principale per vedere meglio le tacche che altrimenti non sarebbero visibili, riuscire a farlo senza una lente di ingrandimento e senza disegnare tacche vicinissime è grandioso.

Ci siamo messi a fare una corsa, sulla scala del nonio partendo in vantaggio e sulla scala principale ma con passo maggiore di quello del nonio e ci siamo incontrati su una tacca che ci fornisce la misura esatta della frazione cercata.

In pratica abbiamo costruito una corrispondenza biunivoca tra le frazioni tra due tacche e le tacche della scala principale passando per la scala del nonio. Molto furbi!

Vi saluto e se temete per il futuro pensate che la vita è quella cosa che supera le difficoltà mentre tra una difficoltà e un altra ci sono solo frazioni di tempo noniose.

Bibliografia

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