Il teorema di de l’Hôpital come non si è mai visto

Uno dei più noti teoremi di analisi è il teorema che prende il nome dal nobile e matematico francese Guillaume François Antoine marchese de l’Hôpital (Parigi 1661-Parigi 1704) ma è anche uno dei più difficili da dimostrare. La dimostrazione che si vede sui libri di matematica delle scuole superiori è semplificata e di solito si omette il caso infinito/infinito. La dimostrazione che si vedei sui libri di analisi 1 di livello universitario invece sono molto simili e non molto belle a mio parere. Allora provo a chiarire per quanto posso ma con una delusione.

L’Hôpital o Hospital?

Wikipedia spiega bene l’ambiguità del nome, a volte sui libri si trova un nome a volte l’altro. Mi pare di capire che lui si firmasse come Hospital ma l’ortografia della lingua francese cambiò già a suo tempo e il suo nome cambiò di conseguenza. Non importa basta che sia lo stesso teorema.

Cosa vuole Johann Bernoulli?

L’Hôpital pagava Bernoulli per studiare matematica. Alla morte di de l’Hôpital il famoso Bernoulli rivelò che da contratto de l’Hôpital aveva i diritti sulle eventuali scoperte fatte e Bernoulli rivendicò per sé questo teorema. La pagina di Wikipedia su Johann Bernoulli però descrive questo grande matematico non proprio come una persona corretta persino nei confronti dei famigliari. I contemporanei dell’epoca dicevano che le sue pretese non erano corrette ma la verità non mi è molto chiara.

Il teorema

Ecco l’enunciato:

\text{Teorema} \newline
\text{Siano f,g derivabili in } (a,b) \text{, sia } g' \ne 0 \text{ in }(a,b) \newline
\text{Sia } \lim_{x \to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L' \newline
\text{Siano i due casi distinti} \newline
i) \quad f(x) \to 0 \quad g(x) \to 0 \quad x\to a^+ \newline
ii)  \quad f(x) \to \infin \quad g(x) \to \infin \quad x\to a^+ \newline
\text{allora in entrambi i casi esiste il limite  } \newline
\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L \newline
\text{inoltre } L=L'

quindi per calcolare un limite 0/0 o infinito/infinito si può passare al rapporto delle derivate e, se il limite esiste, allora è uguale a quello del rapporto tra le funzioni.

Prima di passare alla dimostrazione possiamo vederne alcune conseguenze e riportare molti casi al caso generale del teorema.

Corollario 1

Se anche il rapporto tra le derivate è nella forma 0/0 o infinito/infinito possiamo riapplicare il teorema considerando le derivate prime delle derivate prime cioè le derivate seconde e proseguire.

Corollario 2

Se f o g tendono a -infinito basta applicare il teorema a -f o -g per esempio:

\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=-\lim_{x \to a^+}\frac{-f(x)}{g(x)}=-\lim_{x \to a^+}\frac{-f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}

è piuttosto banale ma a volte è meglio esplicitare le formule per evitare confusioni.

Corollario 3

La dimostrazione non può dipendere dal limite da destra, dovrà valere anche il teorema con il limite da sinistra. Per ridurlo al caso precedente basta cambiare la variabile nella sua opposta:

x \in (a,b) \newline
x=-u \newline
u \in (-b, -a) \newline
\lim_{x \to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{u \to -b^+}\frac{f(-u)}{g(-u)}= \newline
\lim_{u \to -b^+}\frac{-f'(-u)}{-g'(-u)}=\lim_{u \to -b^+}\frac{f'(-u)}{g'(-u)}=\lim_{x \to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}

anche in questo caso la cosa è banale e intuitiva comunque questa è la dimostrazione.

Corollario 4

Segue dal precedente, se il limite del rapporto delle derivate esiste allora esistono i limiti destri e sinistri e sono uguali e quindi esistono anche i limiti destro e sinistro del rapporto delle funzioni e sono uguali. Allora esiste il limite del rapporto delle funzioni.

Corollario 5

Il teorema non mette limiti sugli estremi dell’intervallo (a,b) potremmo avere che a sia -infinito oppure che b sia +infinito. Possiamo ricondurre i due casi al caso finito nell’intorno di zero con un cambio di variabile:

x \in (-\infin,-c) \newline
x=-\frac{1}{u} \newline
u \in (0^+, \frac{1}{c}) \newline
\lim_{x \to -\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{u \to 0^+}\frac{f(-\frac{1}{u})}{g(-\frac{1}{u})}= \newline
\lim_{u \to 0^+}\frac{\frac{1}{u^2}f'(-\frac{1}{u})}{\frac{1}{u^2}g'(-\frac{1}{u})}=\lim_{u \to 0^+}\frac{f'(-\frac{1}{u})}{g'(-\frac{1}{u})}=\lim_{x \to -\infin}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Ho messo -c al posto di b perché il cambio di variabile è invertibile per l’asse delle ascisse negativo, in u=0 perde l’invertibilità ma non è essenziale perché il limite comunque viene calcolato per valori di x definitivamente negativi. Dal corollario 3 otteniamo anche il caso in cui b è infinito.

Leggiamo il teorema

Le funzioni f e g sono derivabili sull’intervallo aperto (a,b). Non viene assunta nessuna continuità della derivata come viene fatto in alcune dimostrazioni. Non viene nemmeno considerata la possibilità di estendere le funzioni nel punto a come viene fatto in alcune dimostrazioni. Il fatto di assumere l’intervallo aperto escludendo il punto a in cui si vuole calcolare il limite è proprio la potenza di questo teorema.

Le derivate possono essere discontinue ma la funzione a denominatore g non può assumere il valore 0. In realtà basta che sia non nulla in un intorno destro di a visto che comunque tutto si riduce all’andamento del rapporto in un intorno destro di a.

Il limite del rapporto delle derivate, L’, deve esistere finito o infinito. Questo è un punto molto importante, la condizione di esistenza del limite del rapporto delle derivate è condizione sufficiente per l’esistenza del limite del rapporto delle funzioni ma non necessario. Se il limite del rapporto delle derivate non esiste nulla si può dire dell’esistenza del limite del rapporto delle funzioni. I libri sono pieni di esempi ma sono sempre gli stessi, ne propongo uno diverso:

\lim_{x\to \infin}\frac{x}{2x+\sin x}=\lim_{x\to \infin}\frac{x}{x}\frac{1}{2+\frac{\sin x}{x}}= \newline
\lim_{x\to \infin}\frac{1}{2+\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{2} \newline
\lim_{x\to \infin}\frac{1}{2+\cos x}= \nexists

Le prime due righe calcolano il limite mentre l’ultima è il limite delle derivate. Il coseno oscilla e quindi il limite oscilla tra 1/3 e 1 e quindi non esiste. Come si vede se il limite del rapporto delle derivate non esiste nulla si può dire sul limite del rapporto delle funzioni.

Infine i casi i) ed ii) non si possono ricondurre uno all’altro; ecco perché in moti libri delle scuole superiori la dimostrazione del secondo caso viene omessa.

Dimostriamo il teorema

Partiamo con una cosa strana, scegliamo 4 numeri arbitrari maggiori e minori del limite:

l_2 \lt l_1 \lt L' \lt L_1 \lt L_2

Se L’ fosse infinito allora L_1 e L_2 non possono essere scelti e viceversa se L’ è -infinito non è possibile scegliere l_1 e l_2. Per convenzione sottintendiamo queste due possibilità.

Ora utilizziamo la definizione di limite per il rapporto delle derivate. Deve esistere un intorno destro di a per cui definitivamente:

l_1 \lt \frac{f'(x)}{g'(x)} \lt L_1 \quad \forall x \in (a, c_1) \newline
c_1 \lt b

A questo punto ci serve Cauchy ed il suo teorema degli incrementi finiti che sarà anche il punto di delusione che ho anticipato nell’introduzione. Questo teorema ci permette di collegare il limite delle derivate con il limite delle funzioni. Possiamo prendere due punti arbitrari x e x_0 che formano un intervallo chiuso interno all’intorno destro individuato prima, allora deve esistere un punto t intermedio tra i due per cui:

x, x_0 \in (a,c_1) \newline
a \lt x \lt x_0 \lt c_1 \newline
\frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)}=\frac{f'(t)}{g'(t)} \newline
t\in (x, x_0)

Possiamo utilizzare la disuguaglianza precedente ed ottenere:

l_1 \lt \frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)} \lt L_1

Considerando il caso i), passando al limite variando x ma lasciando fermo x_0 abbiamo:

x \to a^+ \newline
l_1 \lt \frac{f(x_0)}{g(x_0)} \lt L_1

Ora faccio un passaggio completamente inutile maggioro e minoro le disuguaglianze con i numeri più grandi e più piccoli scelti in precedenza:

l_2 \lt \frac{f(x_0)}{g(x_0)} \lt L_2

Ora consideriamo il caso ii). g(x) tende all’infinito per cui esiste un intorno destro in cui definitivamente:

x, x_0 \in (a,c_2) \newline
a \lt x \lt x_0 \lt c_2 \lt c_1 \newline
g(x) \ge g(x_0) \gt 0 

Per cui, essendo numeratore e denominatore positivi è positivo anche il rapporto:

\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)}\ge 0

Possiamo moltiplicare la disuguaglianza che riporto qui sotto senza cambiare verso alle disuguaglianze:

l_1 \lt \frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)} \lt L_1 \newline
l_1\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)} \lt \frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)}\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)} \lt L_1\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)} \newline
l_1- l_1\frac{g(x_0)}{g(x)}\lt \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)}\lt L_1 -L_1\frac{g(x_0)}{g(x)} \newline
l_1- l_1\frac{g(x_0)}{g(x)}+\frac{f(x_0)}{g(x)}\lt \frac{f(x)}{g(x)}\lt L_1 -L_1\frac{g(x_0)}{g(x)}+\frac{f(x_0)}{g(x)} \newline

Tenendo x_0 fisso vediamo che i denominatori divergono all’infinito per cui definitivamente:

l_2 \lt \frac{f(x)}{g(x)} \lt L_2

In entrambi i casi esiste un intorno destro di a sufficientemente piccolo per cui il rapporto è imbrigliato tra l_2 e L_2. Non importa se nel primo caso il punto si chiama x_0 mentre nel secondo caso si chiama x, di fatto sono punti arbitrari dell’intorno destro di a. Il passaggio inutile precedente serviva solo per avere gli stessi limiti nelle disuguaglianze. Un vezzo più che una necessità.

I numeri l_2 e L_2 sono stati scelti in modo arbitrario per cui scegliendoli arbitrariamente vicini al limite L’ si ottiene che anche il limite del rapporto delle funzioni esiste ed è uguale a L’. Nel caso il limite sia infinito L_2 non esiste mentre l_2 si può scegliere grande a piacere mostrando che anche il limite del rapporto delle funzioni tende all’infinito. Nel caso il limite sia -infinito non è possibile scegliere l_2 mentre L_2 si può scegliere negativo a piacere e quindi anche il limite del rapporto delle funzioni tende a -infinito.

c.v.d.

Cosa centra Cauchy?

Secondo Wikipedia Augustin-Louis Cauchy è nato a Parigi nel 1789… notato niente? Il teorema di de l’Hôpital è stato pubblicato nel 1696 mentre de l’Hôpital è morto nel 1704 quindi: come diavolo hanno fatto a dimostrare un teorema usandone uno scritto da Cauchy decenni più tardi?

Non ho una risposta solo una supposizione, è stato dimostrato in modo diverso e forse nemmeno nella forma generale che conosciamo oggi ma non ho informazioni certe al riguardo: che delusione.

Concludendo

Siamo partiti da un teorema molto noto che si studia anche alle scuole superiori. Abbiamo messo in evidenza ben 5 corollari che ci hanno evitato di complicare la dimostrazione.

Abbiamo letto bene il teorema per metterne in evidenza la generalità e la particolare tediosa condizione di sufficienza dell’esistenza del limite del rapporto delle derivate per dedurre l’esistenza del limite del rapporto delle funzioni ma la non necessarietà che abbiamo messo in evidenza con un esempio non banale e nemmeno comune.

Infine ci siamo buttati nella dimostrazione che usa praticamente solo la definizione di limite e di intorno per stabilire delle disuguaglianze valide nei due casi ma che richiedono dimostrazioni distinte.

La dimostrazione originale non mi è nota ma dalla data di nascita di Cauchy ne deduco che non possa essere basata sulla dimostrazione di un suo teorema scritto quasi un secolo dopo.

Il teorema è uno dei più difficili che si possa trovare in un corso di analisi 1. Basta saperlo usare correttamente ed è abbastanza.

Saluto Guillaume, François, Antoine e anche Johann anzi: salut!

Bibliografia

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