Matrici equivalenti, matrici simili e…

Le definizioni di matrici equivalenti e simili sono casi particolari di una definizione più generale di funzioni equivalenti. Viste da questo punto di vista tutto diventa più chiaro.

Funzioni invertibili

Consideriamo un insieme X qualsiasi ed una funzione invertibile su se stesso:

\phi : X \to X \newline
\phi^{-1}: X \to X

possiamo vedere questa funzione come una rimappatura dell’insieme X, ad ogni punto distinto viene fatto corrispondere un altro punto, essendo invertibile a due punti corrispondono sempre due punti diversi.

Questa rimappatura possiamo anche vederla come un cambiamento di variabile se vista assieme ad una funzione definita su X:

f: X \to Y \newline
f\circ \phi: X \to Y

Facciamo il giro

Visto ciò possiamo considerare anche un cambio di variabile nel codominio e possiamo disegnare il seguente diagramma:

\begin{CD}
   X @>g>> Y \\
@V\phi VV @AA\psi^{-1} A \\
   X @>f>> Y
\end{CD}

Per andare da un punto x del dominio X ad un punto y del codominio Y possiamo fare due strade ma solo se finiamo nello stesso punto:

x \mapsto y=g(x) \newline
x \mapsto \phi(x) \mapsto f\circ \phi(x) \mapsto \psi^{-1}\circ  f\circ \phi(x) =y 

per imporre che finiamo nello stesso punto dobbiamo scrivere:

g(x)=\psi^{-1}\circ  f\circ \phi(x)  \qquad \forall x \in X

Il che dipende dalla scelta delle due funzioni f e g.

Funzioni equivalenti

Le funzioni f e g a ben vedere sono la stessa cosa a meno di un cambiamento di variabili del dominio e del codominio. Questa stessa cosa in matematica si dovrebbe formalizzare con le relazioni di equivalenza di cui abbiamo parlato qui e qui.

Dunque, possiamo pensare alla funzione g, a due cambiamenti di variabile, phi e psi, e poi trovare una funzione f che permetta di completare il giro.

Possiamo anche pensare a due funzioni, f e g , e poi pensare di trovare due cambiamenti di variabile, phi e psi, che permettano di fare il giro.

Il fatto è che le funzioni sono 4 e se fanno tutte insieme il giro allora sono uniche. Possiamo capirlo dal fatto che se ne cambiamo una allora deve differire per almeno un punto e quel punto non fa più il giro. Ovviamente possiamo cambiarne altre 3 per riuscire a fare il giro, le due del cambiamento di variabile e la f per esempio. Insomma, non c’è un unico modo per fare il giro ma fissato il modo le 4 funzioni sono quelle.

I due modi di pensare il giro sono alla fine lo stesso modo ma espresso con parole diverse. Usiamo il modo usato nei libri per definire due funzioni equivalenti (quante volte ho usato la parola modo?):

Due funzioni g ed f sono equivalenti se esistono altre due funzioni invertibili phi e psi tali che:

g=\psi^{-1}\circ  f\circ \phi  

e scriviamo:

g \sim f

Penso sia chiaro, ma vediamo se si tratta di una vera relazione di equivalenza.

Per mostrare che:

g \sim g

basta prendere come cambiamento di variabile la mappa identica sia nel dominio che nel codominio:

g=id \circ g=id \circ g \circ id=id \circ g \circ id^{-1} \newline

i passaggi dalla prima all’ultima uguaglianza dovrebbero essere ovvi.

Ora mostriamo la simmetria:

g \sim f \newline
g=\psi^{-1}\circ  f\circ \phi \newline
\psi \circ g= \psi\circ \psi^{-1}\circ  f\circ \phi \newline
\psi \circ g \circ \phi^{-1}= \psi\circ \psi^{-1}\circ  f\circ \phi \circ \phi^{-1}\newline
\psi \circ g \circ \phi^{-1}=id \circ f \circ id \newline
(\psi^{-1})^{-1} \circ g \circ (\phi^{-1})= f  \newline
\alpha^{-1} \circ g \circ \beta = f \newline
f \sim g

partendo dall’alto, la seconda riga è la definizione della prima riga, gli altri passaggi semplicemente applicano le funzioni inverse delle mappe a sinistra e a destra ottenendo la quinta riga. La definizione vuole la funzione inversa prima della funzione g, non serve perché le funzioni sono invertibili ma la definizione per essere riconoscibile può essere mostrata esplicitamente prendendo l’inversa dell’inversa come abbiamo fatto nella sesta riga e poi chiamare con alfa e beta le funzioni per strafare e se non lo vedete ancora aprite gli occhi! La riga finale mostra che la simmetria è stata raggiunta.

Rimane la proprietà transitiva. Metto i passaggi ma è un esercizio in cui si deve applicare la definizione di relazione di equivalenza ed invertire e comporre le mappe:

g \sim f \qquad f \sim h \newline
g=\psi^{-1}\circ  f\circ \phi  \qquad f=\rho^{-1}\circ  h\circ \sigma \newline
g=\psi^{-1}\circ  \rho^{-1}\circ  h\circ \sigma\circ \phi \newline
g=(\rho \circ \psi)^{-1}\circ  h\circ (\sigma \circ \phi) \newline
g \sim h

e quindi la relazione di similitudine è di equivalenza.

Operatori lineari e matrici

Specializziamo quanto abbiamo detto fino ad ora. Supponiamo che X ed Y siano spazi lineari (detti anche spazi vettoriali) e che tutte le funzioni di prima siano operatori lineari, anche le funzioni di cambiamento di variabile.

Otteniamo quindi la definizione di operatori equivalenti. Spesso sui libri si usano lettere diverse, le riporto:

g \leftrightarrow A \newline
f \leftrightarrow B \newline
\phi \leftrightarrow P \newline
\psi^{-1} \leftrightarrow Q^{-1} \newline

di conseguenza due operatori sono equivalenti se:

A \sim B \newline
A=Q^{-1}BP

Gli operatori lineari si possono rappresentare come matrici e quindi la scrittura qui sopra possiamo pensarla come prodotto di matrici e ottenere la definizione di matrici equivalenti.

Operatori lineari simili e di conseguenza matrici simili si ottengono specializzando ulteriormente la definizione di prima imponendo che il codominio coincida con il dominio e quindi anche il cambiamento di variabile:

A \sim B \newline
A=P^{-1}BP

la scrittura non lo mostra ma X=Y. Questa ulteriore specializzazione a me non piace che venga chiamata similitudine invece di lasciare il nome equivalenza ma non sono io che determino l’uso dei nomi. È solo un nome, a vostro piacere quindi.

Il cambio di variabili negli spazi lineari

Un’ultima cosa mi sembra sia giusta da evidenziare. Negli spazi lineari il cambio di variabile è una trasformazione lineare invertibile da uno spazio in se stesso. Quindi lo spazio viene trasformato in se stesso e una sua base in un’altra base. Quindi si tratta di un cambio di base dello spazio.

Un operatore lineare qualsiasi ha un nucleo che è un sottospazio del dominio che viene mandato nello zero del codominio mentre il resto del dominio viene comunque mandato in uno spazio del codominio. Tutti questi spazi hanno una base che possiamo cambiare sia nel dominio che nel codominio in modo da risultare molto semplice o identica la rappresentazione dell’operatore lineare. Infatti è possibile mostrare che un operatore si può rappresentare con una matrice con una parte di zeri, la parte che rappresenta la mappatura del nucleo nello zero, ed una parte di matrice identica, la parte di spazio rimanente. La dimostrazione la trovate su ogni libro di algebra lineare, qui voglio solo darvi un’idea intuitiva.

Concludendo

Facendo il giro possiamo definire funzioni equivalenti a meno di un cambio di variabile. Ovviamente essendo gli operatori lineari della funzioni particolari possiamo definire gli operatori lineari equivalenti e le matrici equivalenti, caso particolare gli operatori lineari e le matrici simili.

Il resto sono solo calcoli. Molti esercizi su questo tema semplicissimo non sono altro che calcoli tra matrici per verificarne l’equivalenza. Sembra di essere tornati ai tempi dove si usavano le tavole dei logaritmi invece della calcolatrice, che sia un computer a fare questi calcoli!

Fa caldo e forse possiamo andare in vacanza quest’anno. Nel caso buone vacanze.

Bibliografia

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