L’area del segmento parabolico secondo Archimede e la formula di Francesco Bulli
Il Segmento parabolico
Archimede di Siracusa è un genio dell’antichità, per antichità intendo tra i due e i tre secoli prima di Cristo. Ai tempi, Siracusa, la città siciliana, era sotto dominio della Grecia e quando venne conquistata dai romani leggenda vuole che Archimede venne ucciso da un soldato romano.
Una cosa che fece Archimede e che lascia tuttora sbalorditi, almeno a me mi lascia sbalordito, è la quadratura di un segmento di parabola. Guardiamo la figura:
Una parabola viene intersecata da una retta in due punti: P, Q. Si forma una zona chiusa formata dal tratto di retta P, Q e dall’arco di parabola. L’area è mostrata in colore giallo.
Oggi chiunque per quadrarla utilizzerebbe il calcolo integrale ma ad Archimede era ignoto. La cosa che mi lascia sbigottito è che ai tempi si quadravano cose con il lati dritti, poligoni in pratica, mentre le cose curve non erano praticabili come il cerchio.
Con un procedimento che richiede infinite approssimazioni successive Archimede riuscì a mostrare che il segmento parabolico ha un’area pari a 2/3 di quella del triangolo PQR. Grandioso !
Il triangolo parabolico o archimedeo
Dai punti P e Q intersezione della parabola con la retta data si possono tracciare le tangenti che per forza di cose si intersecano in un punto che nel disegno ho chiamato R: questo è noto come triangolo parabolico o archimedeo.
Per qualche motivo Archimede capì che i triangoli parabolici erano essenziali per la quadratura del segmento parabolico, costruendone infiniti arrivò a stabilire che:
PMQ(segmento\space parabolico)=\frac{2}{3}PRQ(triangolo)= \newline
\frac{2}{3}2PMQ(triangolo)=\frac{4}{3}\frac{1}{2}PQ'P'P(rettangolo)=\frac{2}{3}PQ'P'P(rettangolo)Archimede dimostrò che il segmento parabolico ha area pari a 2/3 del triangolo parabolico PRQ. Noi qui non faremo la dimostrazione, trovo magnifico che riuscisse a maneggiare concetti come infinito e limite senza che fossero ancora stati definiti; così si fa !
Si può costruire una retta parallela alla retta data ma tangente alla parabola, il punto di tangenza è segnato come M. La retta che passa da R e M incontra la retta data in un punto chiamato S. Nella dimostrazione si vede che M è il punto medio del segmento RS (nel mio disegno invece non sembra ma è il disegno che non è fatto bene) e quindi il triangolo PMQ ha area pari alla metà del triangolo PRQ. A sua volta possiamo tracciare dai punti P e Q le perpendicolari alla retta parallela e tangente formando i punti P’ e Q’. Il rettangolo PP’Q’Q ha area doppia del triangolo PMQ perchè hanno la stessa base e la stessa altezza.
Tutto è scritto nelle formule qui sopra e tutti vengono detti teoremi di Archimede creando una gran confusione.
La geometria analitica
Il francese Renè Descardes noto come Cartesio, nel ‘600 introdusse la geometria analitica e si deve al tipografo il fatto che ancora oggi utilizziamo le lettere x e y per indicare le variabili… questi aneddoti non fanno per me.
Una parabola ed una retta si possono scrivere nel seguente modo:
ax^2+bx+c=y \newline mx+q=y
mettendole a sistema si possono trovare le coordinate dei punti di intersezione P, Q:
P=(x_p,y_p) \quad Q=(x_q.y_q)
da qui è possibile trovare la distanza dei punti che è la base del triangolo o del rettangolo della parabola:
PQ=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2}Una retta parallela alla retta data ha semplicemente lo stesso coefficiente angolare m ma un q differente che possiamo calcolare mettendo a sistema la parabola con la retta tangente ed imporre che i punti di intersezione siano uno solo cioè imponendo il discriminante a zero:
ax^2+bx+c=y \newline mx+q'=y \newline \Delta(q')=0
Ora possiamo determinare la distanza del punto P o del punto Q dalla retta tangente:
PP'=\frac{\lvert y_p-mx_p-q' \rvert}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\lvert y_q-mx_q-q' \rvert}{\sqrt{1+m^2}}=QQ'A questo punto possiamo utilizzare il teorema di Archimede nella forma del rettangolo e trovare l’area del segmento di parabola:
PMQ(segmento\space parabolico)=\frac{2}{3}PP'\cdot PQI calcoli quindi permettono di ottenere la misura dell’area, si noti che Archimede aveva stabilito l’equivalenza, cioè la stessa area, ma non il valore; per questo servono i calcoli.
La formula di Francesco Bulli
Lo studente del Liceo Scientifico “Buonarroti” di Monfalcone della classe 3 ASA, nel 2020 ha fatto una cosa che forse nessuno ha mai fatto prima di lui.
La sua insegnante, faceva calcolare le aree del segmento di parabola, il procedimento, visto qui sopra, è lungo e prono ad errori di calcolo, forse stufo di fare tutti quei calcoli, si è messo in testa di ottenere la formula finale in funzione dei parametri dati cioè i coefficienti a, b, c della parabola e i coefficienti m e q della retta intersecante.
La formula che ha trovato è sorprendentemente semplice, il sorprendentemente è d’obbligo perché è proprio la complessità dei calcoli che fanno prevedere una formula complessa che probabilmente ha sempre frenato altri dal mettersi a fare tutti quei conti, ma forse qualcuno li ha fatti in passato ma al momento non se ne trova traccia nei formulari e quindi potrebbe essere il primo ad aver pubblicato questa formula. La formula è pubblicata sul numero 269 della rivista Mathesis, riporto il link qui.
I calcoli sono complessi ma alla fine ci sono delle semplificazioni e si ottiene questo risultato:
PMQ(segmento\space parabolico)=\frac{\sqrt{[(b-m)^2-4a(c-q)]^3}}{6a^2}Il risultato è solo frutto di calcoli e non c’è molto da imparare, inoltre sono complicati e io non ho voglia di farli, è comunque un utile esercizio, per chi ha voglia…
Facciamo qualche piccola osservazione, il denominatore non deve essere nullo, in effetti dovrebbe essere il parametro a nullo ma questo implica che non si ha più a che fare con una parabola e quindi il problema perde di senso. Inoltre, per via del quadrato, il denominatore è positivo anche se la parabola è rivolta verso il basso, l’area è sempre positiva.
Al numeratore abbiamo una radice e quindi il termine sotto di essa deve essere positivo, il cubo non cambia segno quindi è il termine tra parentesi quadrate che deve essere positivo o nullo. È abbastanza intuitivo che per valori negativi la retta non interseca la parabola e non ha senso calcolare l’area del segmento parabolico. Il valore nullo si ha se la retta è tangente alla parabola mentre il valore è positivo se la retta interseca la parabola in almeno due punti distinti.
Concludendo
Questo post è dedicato ad uno studente ed alla sua insegnate, lo studente è stato bravo e non si è lasciato scoraggiare da calcoli complessi venendo premiato da una formula sorprendentemente semplice, l’insegnate è stata brave perché ha dato attenzione e valore al suo risultato e lo ha, probabilmente, aiutato a pubblicarlo.
Certo, non è che ha superato Archimede come qualche giornale ha titolato ma, comunque è un risultato degno di nota.
Una sola parola: Bravi !
Bibliografia
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