La famigerata teoria dei quadrati immersi nel rettangolo

Diciamo subito che la “teoria dei quadrati immersi nel rettangolo” non esiste. Al massimo potremmo parlare di un rompicapo. In realtà è solo un artificio per stimolare il modo in cui pensiamo e cercare di uscire da una sorta di pensiero unico che ci impedisce di progredire ma, un po’ in piccolo non tanto grande.

Il rompicapo

Allora, si prendano dei quadrati e si formi un rettangolo come in figura:

come si vede al centro c`è un piccolo quadrato di area unitaria e quindi anche di lato unitario, una misura di base da qualche parte ci deve essere. Il problema è: quanto misurano i lati? E l’area totale?

Il problema di fondo però è: è possibile costruire un rettangolo con dei quadrati nel modo indicato in figura? Quando si può? Quando non si può?

Il colpo di genio

Magari no vi sembra ma è un colpo di genio tracciare delle sezioni parallele orizzontali e verticali al rettangolo come nella figura che segue:

Perché è un colpo di genio? Semplice, tracciare tali linee è qualcosa che non è descritto dal problema. Tracciarle è quindi frutto di un po’ di fantasia che serve sempre per risolvere problemi ma, non è questo quello di cui voglio parlarvi.

Ora scriviamo delle equazioni, la somma dei lati deve uguagliare la lunghezza totale del lato in ogni sezione; L per il lato base e l per il lato altezza. Questo è ciò che rende facile il problema perché lo riduce ad uno già noto:

\begin{gather}
x+2y=L \\
2w+2y=L \\
2w+z+1=L \\
v+z=L \\
x+v+w=l \\
y+v+1=l \\
y+z=l 
\end{gather}

La numerazione delle equazioni corrispondono alla numerazione delle sezioni del disegno.

Come si vede si tratta di un sistema di sette equazioni in sette incognite. Sappiamo come risolverlo e quindi il resto sono calcoli. Li lascio a voi. Se volete un modo operativo potete consultare il video del mitico Presh Talwalkar da cui ho tratto ispirazione o la descrizione che trovate qui (in inglese come il video: “What Is The Rectangle’s Area? Dutch Olympiad Question“)

Dai, tanto per farvi vedere che ci tengo alla precisione vi riporto almeno le soluzioni, come lo fa Presh è diverso e quindi vi dimostro che faccio anche tutti i calcoli però…scrivere le formule di tutti i passaggi è decisamente troppo per la mia pazienza.

x=\frac{5}{2} \qquad y=\frac{11}{4} \qquad z=\frac{9}{2} \newline
v=\frac{7}{2} \qquad w=\frac{5}{4} \qquad l=\frac{29}{4} \newline
L=8

Il calcolo dell’area viene lL=58 compatibile con la soluzione di Talwalkar. Anche le misure dei lati sono compatibili con quelle del disegno.

Generalizziamo

Ora veniamo al dunque. Ponetevi nell’idea balzana che la teoria dei quadrati immersi nel rettangolo esista davvero. Avete un sistema lineare a coefficienti interi positivi che potete risolvere in molti casi. Ora provate a generalizzare: vi rendete conto che potete scrivere sistemi con coefficienti non interi o anche negativi e riuscite lo stesso a risolvere il sistema di equazioni ma cosa possono significare quei coefficienti ?

Non esistono quadrati che si contano negativamente o in modo non intero. Quindi ? Stiamo parlando di soluzioni spurie qualunque cosa possa significare ?

Sappiamo benissimo che i sistemi si possono vedere in modo più generale come la ricerca del nucleo di un operatore lineare (spiegazione direi incomprensibile a molti detta così) ma anche come un sistema per risolvere problemi non legati necessariamente alla geometria e quindi ai numeri positivi di segmenti ed aree ma, e qui è il punto in cui la mente non progredisce, se restiamo fissati sul problema specifico non ne usciremo mai.

Per uscirne forse potremmo dare un senso logico, con qualche costruzione astrusa, a misure di lati ed aree negative o conteggi frazionari, forse potremmo arrivare anche a concetti con numeri complessi ma forse anche no.

E se invece capissimo che è la natura del problema a limitarci ?

I sistemi lineari descrivono molti problemi, non necessariamente geometrici e quindi possono essere generalizzati solo trattandoli in astratto magari senza avere esempi concreti fino a che non ne salta fuori uno magari per caso.

Questo è il tipico inseguimento tra matematica e fisica e anche tra le varie scienze: a volte la matematica parte per la tangente verso mondi astratti e poi viene raggiunta dalla fisica con un problema che richiede proprio quello strumento matematico già sviluppato nel passato, a volte succede il contrario, la fisica ha un problema che richiede nuovi strumenti matematici.

Liberiamo la mente

Provate a pensare a dei problemi che conoscete non necessariamente di fisica o matematica, anche di finanza, politica, agricoltura, informatica…

Ora chiedetevi se con i metodi che conoscete siete in grado di risolverli, se sì allora potete provare a generalizzarli e se il metodo che utilizzate funziona ma perde di senso per il problema da cui siete partiti allora forse siete di fronte ad un modo per risolvere altri problemi: basta trovare il problema.

Lo so, questo ultimo passaggio non porta ad una soluzione certa, questo post infatti è solo uno stimolo per la ricerca di qualche cosa di nuovo.

Concludendo

Questo post è particolare, mi è venuto in mente guardando uno dei tanti rompicapo pubblicati da Presh Talwalkar. Di per sé molti rompicapo li trovo una perdita di tempo, in pratica vengono costruiti a partire dalla soluzione e si rendono complicati a piacere con descrizioni fuorvianti o complicazioni algebriche, sembra l’applicazione dell’idea di entropia che cresce sempre o dell’ufficio complicazione affari semplici di Fantozziana memoria. D’altra parte però a volte, per un meccanismo creativo, guardando le soluzioni di alcuni di questi rompicapo, nella mente si uniscono fili pendenti di altri problemi e si trovano connessioni che improvvisamente appaiono chiare nella mente mentre prima erano offuscate nella nebbia.

Nell’attesa che la nebbia si dissolva con l’arrivo della bella stagione o mettendo un nuovo paio di occhiali vi saluto sperando di trovare il tempo per il prossimo post.

Bibliografia

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