Può una funzione essere continua in un punto? Sì, ma cosa significa la continuità allora?
Continuità
Ho parlato della continuità in questo post del 2019 che oggi scriverei in modo diverso ma comunque ai tempi aveva il suo bel perché. In pratica il post fa riferimento all’affermazione che si sente dire da molti insegnanti e si legge anche sui libri e… nei post di qualcuno di cui non faccio il nome e nemmeno il cognome, Meinfach, secondo cui una funzione continua ha un grafico che si può disegnare senza staccare la penna dal foglio.
Sicuramente una funzione del genere è continua ma se una funzione è continua non è detto che si possa disegnare senza staccare la penna dal foglio. Facciamoci una domanda, è possibile avere una funzione continua in solo punto? Sì ma prima di costruirla ricordiamo un’altra funzione discontinua ovunque, la funzione di Dirichlet:
D(x):=\begin{cases}
1 & x \in \char"211a \\
0 & x \notin \char"211a
\end{cases}la funzione è nulla sui numeri irrazionali e vale 1 sui numeri razionali.
Ci è utile mostrare che è discontinua ovunque. Fissiamo un x_0=p/q razionale e consideriamo la successione seguente e il limite della funzione sulla sucessione:
x_n:=\frac{p}{q}+\frac{\sqrt{2}}{n} \newline
\lim_{n\to \infin}D(x_n)=\lim_{n\to \infin}0=0 \newline
D(x_0)=1\ne 0La successione scelta ha limite pari al numero razionale scelto ma è costituita da numeri irrazionali per la presenza della radice di 2 che è stata scelta come numero irrazionale per antonomasia non perché abbia un significato speciale. La funzione assume in ogni punto irrazionale della successione valore 0 per definizione e quindi il limite è 0 come si vede dalla seconda riga. D’altronde la funzione nel punto assume valore 1 essendo il punto razionale per cui esiste una successione con limite diverso dal valore della funzione e questo basta per poter dire che è discontinua sui numeri razionali.
Per la discontinuità sui numeri irrazionali usiamo la definizione e fissiamo un epsilon arbitrario:
\epsilon > 0 \newline
x_0 \notin \char"211a \newline
\lvert D(x_0)-D(x)\rvert =\lvert0-D(x)\rvert = \begin{cases}
1 & \forall x \in \char"211a \\
0 & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} < \epsilonin ogni intorno di x_0 posso trovare infiniti numeri razionali e irrazionali per cui scegliendo un epsilon minore di 1 non posso trovare un intorno che soddisfi la disuguaglianza.
Continuità in un punto.
Ora possiamo costruire un esempio in cui la continuità esiste solo in un punto:
p(x):=\begin{cases}
x & \forall x \in \char"211a \\
0 & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} Se pensiamo al grafico della funzione di Dirichlet dobbiamo pensare ad una nuvola di punti irrazionali disposti sull’asse delle ascisse ed ad una nuvola di punti razionali disposti sulla retta parallela all’asse delle ascisse passante per 1. Nella funzione che abbiamo definito qui sopra invece abbiamo ancora la nuvola di punti irrazionale sull’asse delle ascisse ed una seconda nuvola di punti razionali disposta su una retta a 45° passante per l’origine.
Nella funzione di Dirichlet il valore 1 non è significativo, ogni valore finito non nullo andrebbe bene per ottenere discontinuità ovunque. Chiaro quindi che anche per la funzione p(x) le cose non cambiano ed è discontinua ovunque tranne in un punto in cui la cosa non è evidente: cosa succede nell’origine?
Usiamo la definizione di continuità
\epsilon > 0 \newline
\lvert p(0)-p(x)\rvert =\lvert 0-p(x)\rvert = \begin{cases}
x & \forall x \in \char"211a \\
0 & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} < \epsilon \newline
\lvert 0-x\rvert=\lvert x \rvert \le\delta < \epsiloncome si vede è sufficiente scegliere un delta minore dell’arbitrario epsilon per soddisfare alla definizione quindi la funzione p(x) è continua nell’origine e solo nell’origine!
La crisi della penna
L’esempio mostra senza dubbio che tracciare senza staccare la penna dal foglio un unico punto perde di significato, sia chiaro che le funzioni che si possono disegnare senza staccare la penna dal foglio sono continue ma non sono tutte, evidentemente la continuità è più generale.
Possiamo fare altri esempi. Consideriamo una funzione continua g(x) e restringiamola ai numeri razionali:
f(x):=\begin{cases}
g(x) & \forall x \in \char"211a \\
0 & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} Nei punti razionali in cui g(x) è diversa da zero la funzione è discontinua mentre nei punti eventuali in cui la funzione g(x) vale 0 è continua, basta fare il ragionamento precedente e tenere conto che g(x) è continua su tutti i reali. Anche il valore nullo sui razionali è arbitrario e quindi basta considerare i punti in cui la funzione interseca la retta parallela all’asse delle ascisse oppure prendere un’altra funzione continua sui reali e restringerla agli irrazionali e considerare i punti in cui le funzioni si intersecano. Proviamo in generale a verificare la continuità in questi punti:
f(x):=\begin{cases}
g(x) & \forall x \in \char"211a \\
h(x) & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} \newline
\epsilon > 0 \newline
g(x_0)=h(x_0) \newline
\lvert f(x)-f(x_0)\rvert =\begin{cases}
\lvert g(x)-g(x_0) \rvert & \forall x \in \char"211a \\
\lvert h(x)-h(x_0) \rvert & \forall x \notin \char"211a
\end{cases}Essendo entrambe le funzioni continue sui reali possiamo trovare due delta in generale differenti per cui:
\lvert g(x)-g(x_0) \rvert < \epsilon \quad \forall x \in (x_0-\delta_1,x_0+\delta_1) \newline \lvert h(x)-h(x_0) \rvert < \epsilon \quad \forall x \in (x_0-\delta_2,x_0+\delta_2)
a maggior ragione queste disuguaglianze sono valide anche su un intervallo minore e sul sottoinsieme dei razionali o irrazionali:
\delta:=min(\delta_1, \delta_2) \newline \lvert g(x)-g(x_0) \rvert < \epsilon \quad \forall x \in \char"211a \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \newline \lvert h(x)-h(x_0) \rvert < \epsilon \quad \forall x \in (\R-\char"211a) \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)
mettendo insieme le due disequazioni otteniamo:
\lvert f(x)-f(x_0)\rvert < \epsilon \quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)
che equivale alla continuità nel punto di intersezione.
Qualche esempio
Se pensiamo ad un polinomio che ha un numero finito di zeri ristretto ai numeri razionali e consideriamo 0 sugli irrazionali otteniamo un numero finito di punti di continuità.
Se pensiamo ad una funzione periodica come la funzione sin(x) ed a una funzione constante possiamo ottenere un numero infinito numerabile di intersezioni e quindi di punti di continuità.
Se pensiamo alla funzione sin(1/x) e a una funzione costante che la interseca in infiniti punti possiamo ottenere infinito punti di continuità che si accumulano nell’intorno di 0.
Rimane un esempio da trovare, quello che ci permette di ottenere infiniti punti di continuità con la potenza del continuo e per questo dobbiamo scomodare Thomae.
La funzione di Thomae
Il matematico tedesco Karl Johannes Thomae (1840- 1921) trovò un mirabile esempio di funzione discontinua sui razionali e continua sugli irrazionali e quindi su un insieme infinito continuo di punti.
La cosa interessante è che questo esempio è ben più vecchio dei miei professori per cui ritengo che forse la continuità non era ben compresa a loro e nemmeno del tutto a me.
Prima di dare un definizione dobbiamo chiarire cosa si intende per numero razionale. Si noti ad esempio che:
\frac{p}{q}=\frac{rp}{rq}=\frac{sp}{sq}=\dotstutti queste frazioni si dicono equivalenti, in pratica rappresentano lo stesso numero razionale. I numeri razionali sono unici per cui si considerano non le frazioni ma il rispettivo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza. Dei numeri razionali ne ho parlato qui. Se non è chiaro per quanto segue basta capire che per numero razionale consideriamo la frazione più semplice ottenuta dopo aver fatto tutte le semplificazioni possibili ed aver ottenuto due numeri primi tra loro. Ora possiamo definire in modo consistente la funzione di Thomae:
T(x):=\begin{cases}
\frac{1}{q} & \forall x=\frac{p}{q} \in \char"211a \\
0 & \forall x \notin \char"211a
\end{cases} Notiamo che nei razionali il denominatore non è mai nullo mentre il numeratore è un qualsiasi numero intero quindi anche negativo.
Proviamo a calcolare la funzione su alcuni valori per capirla bene. Sugli interi in particolare:
\forall n \in \Z \quad n=\frac{n}{1} \newline
T(n)=\frac{1}{1}=1 \newline
0 \in \Z \quad 0=\frac{0}{1} \newline
T(0)=\frac{0}{1}=1 \newlineQuindi sugli interi vale 1, abbiamo messo in evidenza che anche in 0 deve valere 1.
Proviamo a calcolare la funzione sui valori di mezzo:
T(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \newline
T(\frac{2}{2})=T(\frac{1}{1})=1 \newline
T(\frac{3}{2})=\frac{1}{2} \newline
T(\frac{k}{2})=\frac{1}{2} \quad \forall k \ne 2sprovando un paio di numeri con denominatore fisso 2 si capisce che il valore della funzione è 1/2 a meno che il numeratore non sia pari altrimenti la frazione si semplifica e diventa un intero su cui la funzione vale 1 come abbiamo già visto.
La cosa si ripete per i multipli di 1/3, 1/4, 1/5, …
Poiché il numeratore non conta la funzione ha come valore massimo 1. Il valore minimo è 0 ma è assunto solo sui valori irrazionali.
La funzione è ovviamente discontinua su tutti i razionali, come prima basta considerare una successione di irrazionali che converge ad un razionale scelto arbitrariamente. La funzione è nulla su tutti gli elementi della successione e quindi ha limite 0 mentre nel punto razionale la funzione assume un valore non nullo.
Dobbiamo mostrare la continuità sui punti irrazionali:
x_0 \notin \char"211a \newline
\lvert T(x)-T(x_0) \rvert =\lvert T(x)-0 \rvert < \max(0, \frac{1}{q})=\frac{1}{q}scegliamo un punto irrazionale ed andiamo a guardare cosa succede in un suo intorno qualsiasi. Il valore della funzione nel punto è 0 per definizione mentre nel suo intorno può assumere il valore 0 oppure 1/q comunque minore del massimo dei due e quindi minore di 1/q. Ora il seguente ragionamento è geniale:
Essendo x_0 irrazionale non è intero e quindi esiste un intorno che esclude gli interi e:
\lvert T(x)\rvert < 1 \quad \forall x \in (n, n+1) \quad x_0 \in (n, n+1)
Ripetiamo, essendo x_0 irrazionale non è un mezzo intero e quindi esiste un intorno che esclude i mezzi interi e:
\lvert T(x)\rvert < \frac{1}{2} \quad \forall x \in (\frac{k}{2}, \frac{k+1}{2}) \quad x_0 \in (\frac{k}{2}, \frac{k+1}{2})Possiamo ripetere il ragionamento per 3,4,5,… e dopo in numero N finito di passi ottenere:
\lvert T(x)\rvert < \frac{1}{N} \quad \forall x \in (\frac{j}{N}, \frac{j+1}{N}) \quad x_0 \in (\frac{j}{N}, \frac{j+1}{N})tutto è possibile perché il punto è irrazionale e quindi è sempre all’interno di un intervallo di mezzi, terzi, ecc.
La funzione quindi non può essere maggiore di 1/N in quel intervallo perché contiene razionali con denominatore maggiore. Ora ci basta scegliere un epsilon a piacere ed il delta verrà di conseguenza:
\epsilon > 0 \newline
N > \frac{1}{\epsilon} \newline
\delta < \frac{1}{N} \newline
\lvert T(x)\rvert < \frac{1}{N}< \epsilon \quad \forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) quindi la funzione è continua su tutti gli irrazionali.
Concludendo
Abbiamo considerato la continuità come descritta in un vecchio post dove veniva esaltata l’idea di funzione che si può disegnare senza staccare la penna dal foglio. Abbiamo visto con un controesempio che però la continuità può capitare in un singolo punto di una funzione che è discontinua in tutti gli altri. Questo ha messo in discussione il concetto intuitivo di continuità in quanto la definizione è più ampia.
Studiando un po’ di esempi abbiamo facilmente trovato infinite funzioni continue in un numero finito di punti ed anche in un numero infinito numerabile di punti con anche dei punti di accumulazione. La funzione di Thomae però ci ha fornito un esempio di funzione discontinua sui razionali e continua sugli irrazionali quindi su un inseme non numerabile.
La funzione di Thomae è antica ma le generazioni successive di insegnati e matematici l’hanno ignorata. Anche io non ne ero a conoscenza per cui ho deciso di fare questo post per tramandarla alle nuove generazioni.
Saluto tutti quelli che sanno che 2+2=4 per tutti: anche per quelli che non ci piacciono.
Bibliografia
Consulta la pagina a questo link