Il teorema di Pitagora inverso

Diamo un’occhiata al teorema di Pitagora e scopriamo un analogo teorema sui reciproci quadrati dei lati.

Il teorema di Pitagora

Del teorema di Pitagora ne ho parlato ampiamente in questo vecchio post e riporto la figura:

Il triangolo rettangolo ha i due cateti a,b e l’ipotenusa c che è divisa in due segmenti p,q dal piede dell’altezza h.

Il teorema di Pitagora dice che:

a^2+b^2=c^2

Quello che andrò ad investigare è la seguente idea: se il teorema, come ben noto, considera le aree costruite sui cateti e sull’ipotenusa, che relazione c’è con l’area del triangolo?

L’area vista in due modi

L’area del triangolo si calcola base per altezza diviso due come sappiamo dalle elementari ma forse la maestra non ci ha fatto notare che un triangolo avendo 3 altezze permette di calcolare la stessa area in 3 modi diversi: proviamo

A=\frac{1}{2}ba \newline
A=\frac{1}{2}ch \newline
A=\frac{1}{2}ab \newline

Vediamo subito che nel caso specifico del triangolo rettangolo la prima e l’ultima equazione sono uguali e dicono la stessa cosa quindi possiamo trascurarne una e considerare le rimanenti 2 ed otteniamo:

\frac{1}{2}ba=\frac{1}{2}ch \newline
ab=ch \newline
\frac{ab}{h}=c

I passaggi sono ovvi ma non è ovvio cosa sto facendo. La prima ci fornisce una relazione tra l’area del triangolo espressa in due modi diversi, dobbiamo trovare un modo di metterla in relazione con il teorema di Pitagora quindi ho deciso di ricavare l’ipotenusa c per poterla ora mettere insieme con il teorema di Pitagora:

a^2+b^2=c^2 \newline
a^2+b^2=\lparen\frac{ab}{h}\rparen^2

Spostando le a e b tutte dalla stessa parte si ottiene un’espressione interessante:

\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2} \newline
\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{h^2} \newline

o se preferite possiamo anche scriverla come:

b^{-2}+a^{-2}=h^{-2} \newline

Questa formula a volte viene chiamata teorema di Pitagora inverso anche se non c’è la c ma la h.

Questioni di distanza

A me piace vederla in un’altra forma:

\Big(\frac{1}{b}\Big)^2+\Big(\frac{1}{a}\Big)^2=\Big(\frac{1}{h}\Big)^2 \newline

che possiamo vedere come un teorema di Pitagora ma per un triangolo di lati 1/b, 1/c, 1/h.

L’altezza h è la distanza minima tra il vertice dove risiede l’angolo retto e la base c quindi i due cateti devono essere maggiori. Inoltre dalla figura sappiamo che a>b ma non è essenziale possiamo scegliere arbitrariamente quale lato è maggiore:

h\lt b\lt a \newline
\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{h} 

Dato che queste 3 quantità soddisfano il teorema di Pitagora devono formare un triangolo rettangolo di cateti 1/a,1/b ed ipotenusa 1/h che possiamo chiamare triangolo inverso se piace.

Esempi

Facciamo un esempio, poniamo i cateti unitari e formiamo un mezzo quadrato tagliato per la diagonale. Per Pitagora l’ipotenusa è:

1^2+1^2=c^2 \newline
1+1=c^2 \newline
2=c^2 \newline
\sqrt{2}=c

Ma come abbiamo visto uguagliando le aree:

ab=ch \newline
1\times 1=\sqrt{2}h \newline
\frac{1}{\sqrt{2}}=h

Ed infine per il teorema inverso:

\Big(\frac{1}{1}\Big)^2+\Big(\frac{1}{1}\Big)^2=\Big(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\Big)^2 \newline
1^2+1^2=(\sqrt{2})^2 \newline
1+1=2

Ma il triangolo inverso è un triangolo rettangolo di lati 1,1 e radice di due che coincide con quello di partenza e che quindi rappresenta una sorta di invariante. Con questo intendo che ad ogni triangolo rettangolo possiamo associare un altro triangolo rettangolo ottenuto con i reciproci dei cateti ed il reciproco dell’altezza che nel caso del mezzo quadrato coincide con sé stesso. Insomma, l’esempio più particolare che potessi fare l’ho beccato al primo colpo.

Proviamo con il triangolo di cateti 3,4 e naturalmente ipotenusa 5:

3^2+4^2=9+16=25=5^2 \newline
3\times4=5h \newline
h=\frac{12}{5}

Ora vediamo come è fatto il triangolo inverso:

\frac{1}{a}=\frac{1}{4}=0.25 \quad \frac{1}{b}=\frac{1}{3}=0.3333\dots \newline
\frac{1}{h}=\frac{5}{12}=0.416666\dots \newline
\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{1}{(\frac{12}{5})^2} \newline
\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{25}{144} \newline

dal fatto che 9×16=144 e 9+16=25 direi che l’uguaglianza torna.

L’inverso dell’inverso

Se al triangolo a,b,c associo il triangolo 1/a,1/b,1/h cosa associo a quest’ultimo?

Abbiamo già visto che i reciproci dei cateti formano i cateti del nuovo triangolo quindi passando ai reciproci ottengo ancora gli stessi cateti di prima e potendo applicare tranquillamente il teorema inverso possiamo dire che l’inverso dell’inverso deve essere ancora rettangolo e quindi che l’ipotenusa deve essere c. Questo significa che l’inverso dell’inverso porta al triangolo di partenza.

Per essere sicuri dobbiamo calcolare il reciproco dell’altezza del triangolo inverso che deve darci l’ipotenusa di partenza c.

Passiamo dal triangolo al suo inverso:

a^2+b^2=c^2 \newline
\frac{ab}{c}=h \newline
\Big(\frac{1}{b}\Big)^2+\Big(\frac{1}{a}\Big)^2=\Big(\frac{1}{h}\Big)^2 \newline

ora rifacciamo partendo dall’inverso:

\Big(\frac{1}{b}\Big)^2+\Big(\frac{1}{a}\Big)^2=\Big(\frac{1}{h}\Big)^2 \newline
\frac{\frac{1}{ab}}{\frac{1}{h}}:=H \newline

dove H è l’latezza del triangolo inverso dell’inverso e con un paio di passaggi:

\frac{h}{ab}=H \newline
\frac{1}{H}=\frac{ab}{h}=c

Si ottiene l’espressione del reciproco dell’altezza del triangolo inverso dell’inverso che per definizione coincide con l’ipotenusa c come ci aspettavamo.

Possiamo anche ragionare in un modo meno algebrico ma più geometrico. Pensiamo ad un triangolo simile cioè un triangolo ottenuto moltiplicando i lati per la stessa costante. Ora scegliamo come triangolo quello inverso e moltiplichiamo per la costante ab che equivale a moltiplicare la formula del teorema inverso per il quadrato di ab:

a^2b^2\Big(\frac{1}{b}\Big)^2+a^2b^2\Big(\frac{1}{a}\Big)^2=a^2b^2\Big(\frac{1}{h}\Big)^2 \newline
\Big(\frac{ab}{b}\Big)^2+\Big(\frac{ab}{a}\Big)^2=\Big(\frac{ab}{h}\Big)^2 \newline
\Big(\frac{ab}{b}\Big)^2+\Big(\frac{ab}{a}\Big)^2=\Big(\frac{ab}{h}\Big)^2 \newline
(a)^2+(b)^2=(\frac{ab}{h})^2 \newline

Ora dobbiamo interpretare l’ultimo termine che per il teorema di Pitagora deve essere c:

\frac{ab}{h}=c \newline

Ma questo è vero dato che segue dalla definizione di area data più sopra.

Concludendo

Siamo partiti dal teorema di Pitagora ci siamo chiesti se esiste una relazione tra le aree costruite sui lati e l’area del triangolo ed abbiamo ottenuto un’altra cosa cioè una relazione tra i reciproci dei cateti e il reciproco dell’altezza.

Leggendo il teorema nella forma giusta ci siamo accorti che è possibile costruire una corrispondenza tra triangoli associando ad ogni triangolo il suo inverso ed infine abbiamo riapplicato il teorema all’inverso ottenendo l’inverso dell’inverso e mostrato che coincide con il triangolo di partenza.

Abbiamo anche visto due modi di ragionare, uno prettamente algebrico e l’altro più geometrico che sfrutta l’idea di similitudine.

Non male per una cosa delle elementari. Potrei andare oltre ma poi rischio di scrivere cose che non ci sono nei libri divulgando magari qualche cosa di sbagliato. Poi il post è sufficientemente lungo quindi mi fermo qui.

Scegli propositi realizzabili (Don Antonio Mazzi)

Bibliografia

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