Il pi greco della parabola

La parabola ha il suo poco noto pi greco, ciò significa che le parabole sono simili tra loro; vediamo di che si tratta.

Questione di rapporti

Ebbene sì, oltre al cerchio anche la parabola ha il suo rapporto irrazionale trascendente. Nel cerchio il rapporto tra lunghezza della circonferenza e lunghezza del diametro è pi greco. Per analogia… non si riesce a fare un’analogia. Ricominciamo, nel cerchio il rapporto tra la lunghezza di metà della circonferenza e il suo raggio è pi greco mentre per analogia nella parabola tra lunghezza dell’arco di parabola e metà del latum rectum è P. Ovviamente ci sono degli elementi da definire.

Non sapevo dell’esistenza di questo rapporto fino a poco tempo fa per cui ho deciso di scriverne anche se non ho molte informazioni sulla sua storia. Comunque, secondo wikipedia (in inglese) per chi se lo stesse chiedendo, le altre coniche, ellisse e iperbole, non hanno nessuna costante nascosta.

I termini della parabola

Basta guardare il disegno per chiarire i nomi e le posizioni.

La parabola ha una distanza focale f (segmento FV) ed una retta (d) detta direttrice, se la distanza tra la direttrice ed un punto è uguale alla distanza tra il punto ed un altro punto detto fuoco (punto F) il punto appartiene alla parabola(FB=BC), l’insieme di tutti i punti è la parabola. In particolare quando le due distanze formano un angolo retto nel punto D la retta che unisce il punto ed il fuoco è parallela alla direttrice ed interseca la parabola in due punti. Il segmento che si viene a formare si chiama latus rectum un latinismo per dire lato retto.

Se piazziamo un riferimento cartesiano nel vertice della parabola con l’asse delle ascisse parallelo alla direttrice l’equazione si semplifica nella forma generale:

\frac{x^2}{4f}

Non ricavo l’equazione a partire dalla geometri analitica, suppongo che chi legge ne abbia idea. Se la distanza focale e negativa la parabola ha il vertice in alto come una smorfia triste, se la distanza focale è positiva il vertice è in basso e la curva forma una specie di sorriso.

Una retta parallela all’asse delle ascisse passante per l’ordinata h interseca la parabola in due punti simmetrici rispetto all’asse delle ordinate:

y=h \newline
\frac{x^2}{4f}=h \newline
x=\pm 2\sqrt{fh}

la distanza tra i due punti di intersezione è quindi:

4\sqrt{fh}

Il latum rectum si ottiene quando h=f, la metà è quindi:

2\sqrt{fh} \newline
h=f \qquad \frac{1}{2}(\text{latum rectum})=2f

Possiamo calcolare l’arco di parabola tra i due estremi con la nota formula per una qualsiasi funzione g(x):

l(h)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(g'(x))^2}dx \newline

che che nel caso della parabola diventa:

l(h)=\int_{-2\sqrt{fh}}^{+2\sqrt{fh}}\sqrt{1+(\frac{x}{2f})^2}dx= \newline
2\int_{0}^{+2\sqrt{fh}}\sqrt{1+(\frac{x}{2f})^2}dx

nell’ultima riga ho raddoppiato l’integrale e dimezzato il dominio perché l’arco è simmetrico rispetto all’origine.

Una cosa utile è cambiare l’unità di misura:

t:=\frac{x}{2f} \newline
2fdt=dx \newline
x=0 \rarr t=0 \qquad x=2\sqrt{fh} \rarr t=\sqrt{\frac{h}{f}} \newline
l(h)=4f\int_0^{\sqrt{\frac{h}{f}} }\sqrt{1+t^2}dt

Ora l’integrale dipende dal rapporto h/f mentre la lunghezza è proporzionale alla lunghezza focale.

La funzione P

Definiamo il rapporto tra la lunghezza dell’arco di parabola e metà del segmento che passa per h e B:

P\left( \frac{h}{f}\right):=\frac{l(h)}{2\sqrt{hf}}=2\sqrt{\frac{f}{h}}\int_0^{\sqrt{\frac{h}{f}} }\sqrt{1+t^2}dt

Il calcolo dell’integrale occuperà il resto del post ma siccome a me la suspance piace nei film e non nei teoremi scrivo subito la soluzione:

P\left( \frac{h}{f}\right)=\sqrt{\frac{f}{h}}\ln\left( \sqrt{1+\left(\frac{h}{f}\right)^2}+\frac{h}{f}\right)+  \sqrt{1+\left(\frac{h}{f}\right)^2}

Se scegliamo h=f si ottiene:

P\left( 1\right)=\ln\left( \sqrt{2}+1\right)+ \sqrt{2}=2.29558714939263\dots

questa è la costante cercata, il pi greco della parabola.

Il valore non dipende dalla focale e quindi è valida in tutte le parabole.

Le parabole sono tutte simili

Prendiamo due cerchi, possiamo traslarli in modo da far coincidere il centro, si ottengono due circonferenze concentriche che differiscono per il raggio e quindi le consideriamo diverse ma anche simili. Per simili si intende che facendo uno zoom in sul cerchio piccolo lo si può ingrandire fino a farlo apparire uguale in dimensioni con il cerchio più grande, viceversa facendo uno zoom out sul cerchio grande lo si può rimpicciolire fino a farlo apparire piccolo come il cerchio più piccolo.

Fisicamente possiamo disegnare alla lavagna il cerchio grande, e ritagliare su carta un cerchio piccolo, allontanandosi dalla lavagna e tenendo il cerchio piccolo davanti agli occhi possiamo trovare una distanza alla quale il cerchio piccolo copre esattamente il cerchio grande.

Dire che le parabole sono simili significa esattamente la stessa cosa: un parabola vista da vicino ci appare larga e piatta mentre da lontano si può vedere meglio la sua curvatura e confonderla con una parabola più stretta.

Vediamo in formule cosa significa. Prendiamo due parabole con lunghezze focali differenti f_1 e f_2. Ora proviamo scalare sia la l’asse delle ascisse che le ordinate di un fattore k, possiamo vederlo come un cambio di scala del grafico:

y=\frac{1}{4f_1}x^2 \newline
y=kY \quad x=kX \newline
kY=\frac{1}{4f_1}(kX)^2 \newline
kY=\frac{k^2}{4f_1}X^2 \newline
Y=\frac{k}{4f_1}X^2 

si vede che il nuovo oggetto che si ottiene è una parabola nelle nuove variabili, basta ora scegliere il valore di k in modo opportuno e si ottiene:

k=\frac{f_1}{f_2} \newline
Y=\frac{(\frac{f_1}{f_2})}{4f_1}X^2= \frac{1}{4f_2}X^2

Ecco, visto? Basca scalare in modo opportuno per ottenere una parabola di lunghezza focale arbitraria. Non c’è nulla di magico, basta avvicinarsi o allontanarsi dal disegno per vedere la focale allungarsi o accorciarsi di conseguenza.

La foto seguente mostra la chioma di un albero dalla forma pressoché parabolica ripresa con 3 livelli di zoom della macchina fotografica. Se provate ad immaginare una linea che fa il contorno della chioma fatta con un pennarello potete vedere la similitudine pensando al segno del pennarello ed ignorando la profondità dovuta alla prospettiva.

Affinché questo si avveri i rapporti di forma della parabola si devono conservare e quindi ecco l’esistenza della costante P.

L’integrale

Il calcolo dell’integrale non è banale ma ho trovato un modo per renderlo un po’ più semplice.

La prima parte consiste nell’irrazionalizzare il radicale trasformandolo nella somma di due frazioni

\int\sqrt{1+t^2}dt=\int\frac{\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}\sqrt{1+t^2}dt=\int\frac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}dt= \newline
\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt+\int\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}dt

Il secondo integrale si può trasformare mediante integrazione per parti con t fattore finito:

\int\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}dt=\int t\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt=\newline
t\sqrt{1+t^2}-\int\sqrt{1+t^2}dt

È ricomparso l’integrale di partenza, possiamo scrivere:

\int\sqrt{1+t^2}dt=\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt+t\sqrt{1+t^2}-\int\sqrt{1+t^2}dt \newline
2\int\sqrt{1+t^2}dt=\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt+t\sqrt{1+t^2}

Per l’altro integrale dobbiamo fare un artifizio algebrico per nulla ovvio che ho inventato sapendo la soluzione, questa è la parte che dovrebbe semplificare il tutto:

\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt=\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\frac{\sqrt{1+t^2}-t}{\sqrt{1+t^2}-t}dt= \newline
\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}-t}\frac{\sqrt{1+t^2}-t}{\sqrt{1+t^2}}dt= \newline
-\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}-t}\frac{d}{dt}\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)dt= \newline
-\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)=-\ln\left(\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)\frac{\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)}{\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)}\right)= \newline
-\ln\left(\left(1+t^2-t^2\right)\frac{1}{\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)}\right)= \newline
\ln\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)

sotto segno di integrale, alla terza riga, volevo evidenziare che era presente la derivata della stessa funzione presente a denominatore, l’ho scritta come derivata rispetto alla stessa variabile anche se è un abuso di notazione. La quarta riga ci dice che la primitiva del rapporto tra derivata e funzione è il logaritmo della funzione, il segno meno viene dal passaggio precedente. Infine ho razionalizzato e con il segno negativo ho potuto invertire la frazione.

Infine:

2\int\sqrt{1+t^2}dt=\ln\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)+t\sqrt{1+t^2}+C

dove abbiamo aggiunto anche una costante arbitraria inutile visto che dobbiamo calcolare un integrale definito:

P\left( \frac{h}{f}\right):=2\sqrt{\frac{f}{h}}\int_0^{\sqrt{\frac{h}{f}} }\sqrt{1+t^2}dt= \newline
\sqrt{\frac{f}{h}}\left(\ln\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)+t\sqrt{1+t^2}\right)\Bigg\vert_{0}^{\sqrt{\frac{h}{f}}}= \newline
\sqrt{\frac{f}{h}}\ln\left( \sqrt{1+\left(\frac{h}{f}\right)^2}+\frac{h}{f}\right)+  \sqrt{1+\left(\frac{h}{f}\right)^2}

l’ultima riga è la formula che dovevamo dimostrare.

Concludendo

Per caso ho trovato in internet che esiste una costante parabolica equivalente del pi greco per il cerchio ed ho deciso di ricavarmela da solo in modo un po’ più generale. Il risultato è un esercizio per il calcolo di un integrale per nulla banale dipendente solo dal rapporto tra h e f. La scelta di h=f è abbastanza intuitiva e fornisce un numero P che non dipende dalla parabola scelta cioè dalla sua lunghezza focale.

L’esistenza di questa costante nasconde il fatto che le parabole sono simili, cosa non evidente se lasciata all’intuito. Personalmente non conoscevo questa proprietà della parabola e tantomeno l’esistenza di questa costante, mi spiace non poter dire chi e quando l’ha scoperta. Comunque è stato bello ricavare le formule da solo.

Mi raccomando, pensate con la vostra testa.

Bibliografia

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